Номер 17, страница 200 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 17, страница 200.

Условие.

17. Идеальный газ переводят изотермически из состояния 1 в состояние 2 ($V_2 < V_1$), затем его переводят изобарно в состояние 3 и возвращают изохорно в состояние 1. Положительную или отрицательную работу совершает газ в каждом из процессов и целиком за цикл? Происходит ли теплообмен между газом и окружающей средой? Начертите график зависимости $\text{p}$ от $\text{V}$.

Решение.

Рассмотрим каждый процесс отдельно.

Положительную или отрицательную работу совершает газ в каждом из процессов и целиком за цикл?

Работа, совершаемая газом, $\text{A}$, определяется формулой $A = \int p dV$. Знак работы зависит от изменения объема газа.

• Процесс 1-2: Изотермическое сжатие. Температура постоянна ($T = const$). Объем газа уменьшается с $V_1$ до $V_2$, где по условию $V_2 < V_1$. Так как объем уменьшается ($dV < 0$), газ не совершает работу, а над ним совершают работу внешние силы. Работа, совершаемая газом, в этом процессе отрицательна ($A_{12} < 0$).

• Процесс 2-3: Изобарный переход. Давление постоянно ($p = const$). Конечной точкой этого процесса является состояние 3, из которого газ изохорно возвращается в состояние 1. Это означает, что объем в состоянии 3 равен объему в состоянии 1, то есть $V_3 = V_1$. Поскольку $V_1 > V_2$, в процессе 2-3 объем газа увеличивается. Следовательно, газ совершает положительную работу ($A_{23} > 0$).

• Процесс 3-1: Изохорное возвращение в исходное состояние. Объем постоянен ($V = const$). Поскольку изменение объема равно нулю ($dV=0$), работа газа в этом процессе равна нулю ($A_{31} = 0$).

• Работа за цикл: Полная работа за цикл $A_{цикл}$ равна сумме работ на каждом участке: $A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{31}$. Чтобы определить знак полной работы, сравним модули работ $A_{12}$ (сжатие) и $A_{23}$ (расширение). Процесс расширения 2-3 происходит при более высоком давлении $p_2$, чем среднее давление в процессе сжатия 1-2 (где давление меняется от $p_1$ до $p_2$, причем $p_1 < p_2$). На p-V диаграмме работа численно равна площади под графиком процесса. Площадь под изобарой 2-3 больше, чем площадь под изотермой 1-2 на том же интервале объемов. Таким образом, $|A_{23}| > |A_{12}|$. В итоге, полная работа за цикл $A_{цикл} = |A_{23}| - |A_{12}| > 0$. Работа, совершаемая газом за цикл, положительна.

Ответ: В процессе 1-2 работа отрицательна, в процессе 2-3 — положительна, в процессе 3-1 — равна нулю. За весь цикл работа положительна.

Происходит ли теплообмен между газом и окружающей средой?

Теплообмен определяется из первого закона термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\text{Q}$ — количество теплоты, полученное газом, $\Delta U$ — изменение его внутренней энергии.

• Процесс 1-2 (изотермический): Температура не меняется, значит, изменение внутренней энергии $\Delta U_{12} = 0$. Тогда $Q_{12} = A_{12}$. Так как работа газа $A_{12}$ отрицательна, то и $Q_{12} < 0$. Это означает, что газ отдает тепло окружающей среде.

• Процесс 2-3 (изобарный): Объем увеличивается при постоянном давлении. Согласно уравнению состояния идеального газа, температура также увеличивается ($T_3 > T_2$). Значит, внутренняя энергия возрастает, $\Delta U_{23} > 0$. Работа $A_{23}$ также положительна. Следовательно, $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} > 0$. Газ получает тепло от окружающей среды.

• Процесс 3-1 (изохорный): Объем постоянен, работа $A_{31}=0$. В этом процессе давление падает от $p_2$ до $p_1$. Согласно уравнению состояния, температура также падает ($T_1 < T_3$). Значит, внутренняя энергия уменьшается, $\Delta U_{31} < 0$. Следовательно, $Q_{31} = \Delta U_{31} < 0$. Газ отдает тепло окружающей среде.

Таким образом, на всех трех участках цикла происходит теплообмен.

Ответ: Да, на каждом из трех участков цикла происходит теплообмен между газом и окружающей средой.

Начертите график зависимости p от V.

График цикла в координатах p(V) состоит из трех участков:

1. 1-2: Изотермическое сжатие. Графиком является гипербола ($p \sim 1/V$), идущая из точки 1 ($V_1, p_1$) в точку 2 ($V_2, p_2$), где $V_2 < V_1$ и $p_2 > p_1$.

2. 2-3: Изобарное расширение. Графиком является горизонтальная линия ($p = p_2 = const$), идущая из точки 2 ($V_2, p_2$) в точку 3 ($V_1, p_2$).

3. 3-1: Изохорное охлаждение. Графиком является вертикальная линия ($V = V_1 = const$), идущая из точки 3 ($V_1, p_2$) обратно в точку 1 ($V_1, p_1$).

Цикл является замкнутым и проходится по часовой стрелке, что соответствует положительной работе, совершаемой газом за цикл.

Ответ: График цикла в координатах p-V представляет собой замкнутую фигуру, состоящую из участка гиперболы (изотерма 1-2), горизонтального отрезка (изобара 2-3) и вертикального отрезка (изохора 3-1), как показано на рисунке выше.