Номер 18, страница 200 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 18, страница 200.

Условие.

18. Газ, занимающий объём $V_1 = 1$ л при давлении $p = 10^5$ Па, расширился изотермически до объёма $V_2 = 2$ л. Затем при этом объёме давление газа было уменьшено в 2 раза. В дальнейшем газ расширялся при постоянном давлении до объёма $V_3 = 4$ л. Начертите график зависимости $\text{p}$ от $\text{V}$ и, используя его, установите, при каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу.

Решение.

Дано:

Состояние 1: $V_1 = 1$ л, $p_1 = 10^5$ Па

Процесс 1-2: Изотермическое расширение ($T = \text{const}$) до $V_2 = 2$ л

Процесс 2-3: Изохорное охлаждение ($V = \text{const}$) при $V_2$, давление уменьшается в 2 раза.

Процесс 3-4: Изобарное расширение ($p = \text{const}$) до $V_4 = 4$ л (в условии обозначено как $V_3$, используем индекс 4 для ясности).

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

$V_2 = 2 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

$V_4 = 4 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

Найти:

Начертить график зависимости $\text{p}$ от $\text{V}$ и определить, в каком из процессов газ совершил наибольшую работу.

Решение:

Для построения графика необходимо определить параметры газа (давление и объем) в ключевых точках (состояниях 1, 2, 3 и 4).

1. Расчет параметров состояний газа.

Состояние 1: Параметры заданы: $p_1 = 10^5$ Па, $V_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

Переход 1-2 (изотермический процесс):

По закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса: $p_1V_1 = p_2V_2$.

Отсюда найдем давление в состоянии 2:

$p_2 = \frac{p_1V_1}{V_2} = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 1 \text{ л}}{2 \text{ л}} = 0.5 \cdot 10^5$ Па.

Состояние 2: $p_2 = 0.5 \cdot 10^5$ Па, $V_2 = 2 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

Переход 2-3 (изохорный процесс):

Объем не меняется, $V_3 = V_2 = 2 \cdot 10^{-3}$ м$^3$. Давление уменьшается в 2 раза по сравнению с состоянием 2.

$p_3 = \frac{p_2}{2} = \frac{0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}}{2} = 0.25 \cdot 10^5$ Па.

Состояние 3: $p_3 = 0.25 \cdot 10^5$ Па, $V_3 = 2 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

Переход 3-4 (изобарный процесс):

Давление не меняется, $p_4 = p_3 = 0.25 \cdot 10^5$ Па. Газ расширяется до объема $V_4 = 4 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

Состояние 4: $p_4 = 0.25 \cdot 10^5$ Па, $V_4 = 4 \cdot 10^{-3}$ м$^3$.

2. Построение графика зависимости p от V.

На осях координат p(V) отложим найденные точки и соединим их линиями, соответствующими процессам:

• 1-2: Изотерма (гипербола)
• 2-3: Изохора (вертикальная линия)
• 3-4: Изобара (горизонтальная линия)

3. Определение работы газа.

Работа, совершаемая газом, численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатах $p(V)$. Сравним работы, совершенные газом в каждом из трех процессов.

Работа в процессе 1-2 (изотермическое расширение):

Работа вычисляется по формуле:

$A_{1-2} = p_1V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

$A_{1-2} = (10^5 \text{ Па}) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot \ln\left(\frac{2}{1}\right) = 100 \cdot \ln(2) \approx 100 \cdot 0.693 = 69.3$ Дж.

Работа в процессе 2-3 (изохорное охлаждение):

Поскольку объем газа не меняется ($\Delta V = 0$), работа газа равна нулю.

$A_{2-3} = 0$ Дж.

Работа в процессе 3-4 (изобарное расширение):

Работа вычисляется по формуле:

$A_{3-4} = p_3(V_4 - V_3)$

$A_{3-4} = (0.25 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 0.25 \cdot 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 0.5 \cdot 10^2 = 50$ Дж.

Сравнение работ:

$A_{1-2} \approx 69.3$ Дж.

$A_{2-3} = 0$ Дж.

$A_{3-4} = 50$ Дж.

Сравнивая полученные значения, видим, что $A_{1-2} > A_{3-4} > A_{2-3}$. Наибольшая работа была совершена в первом процессе – при изотермическом расширении.

Ответ: Наибольшая работа была совершена газом в процессе изотермического расширения (процесс 1-2), она составила примерно 69.3 Дж.