Номер 10, страница 199 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 10, страница 199.

Условие.

10. На тележку массой $\text{M}$, двигающующуюся горизонтально с постоянной скоростью $\vec{v_0}$, опускают сверху кирпич массой $\text{m}$. Определите, какое количество теплоты при этом выделится.

Решение.

Дано:

Масса тележки: $\text{M}$
Масса кирпича: $\text{m}$
Начальная скорость тележки: $v_0$

Найти:

Количество теплоты $\text{Q}$

Решение:

Процесс взаимодействия кирпича и тележки представляет собой неупругое соударение. Так как на систему «тележка + кирпич» в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до взаимодействия равен импульсу тележки, так как горизонтальная составляющая скорости кирпича равна нулю:
$p_{до} = M v_0$

После взаимодействия кирпич и тележка движутся вместе как единое целое с общей скоростью $\text{v}$. Импульс системы после взаимодействия:
$p_{после} = (M + m) v$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:
$M v_0 = (M + m) v$

Из этого уравнения находим конечную скорость системы:
$v = \frac{M v_0}{M + m}$

Количество теплоты, выделившееся в результате неупругого соударения, равно убыли механической (в данном случае, кинетической) энергии системы.
$Q = \Delta E_k = E_{k, до} - E_{k, после}$

Кинетическая энергия системы до взаимодействия:
$E_{k, до} = \frac{M v_0^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после взаимодействия:
$E_{k, после} = \frac{(M + m) v^2}{2}$

Подставим в формулу для конечной энергии найденное выражение для скорости $\text{v}$:
$E_{k, после} = \frac{(M + m)}{2} \left( \frac{M v_0}{M + m} \right)^2 = \frac{(M + m) M^2 v_0^2}{2 (M + m)^2} = \frac{M^2 v_0^2}{2(M + m)}$

Теперь вычислим количество выделившейся теплоты:
$Q = \frac{M v_0^2}{2} - \frac{M^2 v_0^2}{2(M + m)}$

Вынесем общий множитель за скобки и приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$Q = \frac{M v_0^2}{2} \left( 1 - \frac{M}{M+m} \right) = \frac{M v_0^2}{2} \left( \frac{M+m-M}{M+m} \right) = \frac{M v_0^2}{2} \left( \frac{m}{M+m} \right)$

Таким образом, получаем окончательное выражение для количества теплоты:
$Q = \frac{m M v_0^2}{2(M+m)}$

Ответ: $Q = \frac{m M v_0^2}{2(M+m)}$