Номер 5, страница 198 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 5, страница 198.

Условие.

5. Каковы первоначальная температура и объём гелия, находящегося под поршнем в цилиндре, если при охлаждении газа до $t = -23 \text{ }^{\circ}\text{C}$ поршень с лежащим на нём грузом общей массой $m_1 = 16 \text{ кг}$ совершает работу $A = 400 \text{ Дж}$? Площадь поршня $S = 200 \text{ см}^2$, атмосферное давление $p_0$ нормальное, масса гелия $m_1 = 5 \text{ г}$.

Решение.

Дано:

$t_2 = -23 \text{ }^{\circ}\text{C}$

$m_p = 16 \text{ кг}$ (масса поршня с грузом, в условии обозначена $m_1$)

$A = 400 \text{ Дж}$ (работа, совершаемая поршнем и внешними силами над газом)

$S = 200 \text{ см}^2$

$p_0$ - нормальное атмосферное давление

$m_{He} = 5 \text{ г}$ (масса гелия, в условии обозначена $m_1$)

Перевод в систему СИ:

$T_2 = t_2 + 273 = -23 + 273 = 250 \text{ К}$

$S = 200 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

$p_0 \approx 10^5 \text{ Па}$

$m_{He} = 5 \times 10^{-3} \text{ кг}$

Константы:

Молярная масса гелия $M_{He} = 4 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \ \mathrm{Дж /(моль\cdot К)}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$V_1$ - первоначальный объём гелия

$T_1$ - первоначальная температура гелия

Решение:

1. Процесс охлаждения гелия происходит при постоянном давлении (изобарный процесс), так как вес поршня с грузом и атмосферное давление постоянны. Давление газа $\text{p}$ внутри цилиндра уравновешивает внешнее давление и вычисляется по формуле:

$p = p_0 + \frac{m_p g}{S}$

Подставим числовые значения:

$p = 10^5 \text{ Па} + \frac{16 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2}{0.02 \text{ м}^2} = 100000 \text{ Па} + 8000 \text{ Па} = 108000 \text{ Па}$

2. При охлаждении газ сжимается, его объём уменьшается, и поршень опускается. Работа, совершаемая поршнем ($A = 400 \text{ Дж}$), является работой внешних сил над газом. Следовательно, работа, совершаемая самим газом, $A_{газа}$, отрицательна: $A_{газа} = -A = -400 \text{ Дж}$.

Работа газа в изобарном процессе определяется как:

$A_{газа} = p (V_2 - V_1)$

где $V_1$ и $V_2$ - начальный и конечный объёмы газа. Отсюда можно найти изменение объёма:

$V_2 - V_1 = \frac{A_{газа}}{p} = \frac{-400 \text{ Дж}}{108000 \text{ Па}}$

Следовательно, уменьшение объёма составляет:

$V_1 - V_2 = \frac{400}{108000} = \frac{4}{1080} = \frac{1}{270} \text{ м}^3$

3. Найдём количество вещества гелия (число молей $\text{n}$):

$n = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ кг}}{4 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 1.25 \text{ моль}$

4. Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для конечного состояния газа, чтобы найти его конечный объём $V_2$:

$p V_2 = n R T_2$

$V_2 = \frac{n R T_2}{p} = \frac{1.25 \text{ моль} \times 8.31 \ \mathrm{Дж/(моль\cdot К)} \times 250 \text{ К}}{108000 \text{ Па}} \approx \frac{2596.875}{108000} \approx 0.02405 \text{ м}^3$

5. Теперь, зная конечный объём и изменение объёма, найдём первоначальный объём $V_1$:

$V_1 = V_2 + (V_1 - V_2) = 0.02405 \text{ м}^3 + \frac{1}{270} \text{ м}^3 \approx 0.02405 + 0.00370 \approx 0.02775 \text{ м}^3$

6. Первоначальную температуру $T_1$ можно найти несколькими способами. Например, из уравнения состояния идеального газа для начального состояния:

$p V_1 = n R T_1$

$T_1 = \frac{p V_1}{n R} = \frac{108000 \text{ Па} \times 0.02775 \text{ м}^3}{1.25 \text{ моль} \times 8.31 \ \mathrm{Дж/(моль\cdot К)}} \approx \frac{2997}{10.3875} \approx 288.5 \text{ К}$

Или используя закон Гей-Люссака для изобарного процесса:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

$T_1 = T_2 \frac{V_1}{V_2} = 250 \text{ К} \times \frac{0.02775 \text{ м}^3}{0.02405 \text{ м}^3} \approx 250 \times 1.154 \approx 288.5 \text{ К}$

Округлим полученные значения до трёх значащих цифр.

Ответ: Первоначальная температура гелия $T_1 \approx 289 \text{ К}$ (что соответствует $t_1 \approx 16 \text{ }^{\circ}\text{C}$), первоначальный объём $V_1 \approx 0.0278 \text{ м}^3$ (или $27.8 \text{ л}$).