Номер 7, страница 198 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 7, страница 198.

Условие.

7. В сосуд с водой при температуре $t_0 = 0 \°C$ опустили цилиндрический медный стержень, нагретый до температуры $t_1 = 300 \°C$, после чего температура воды повысилась до $t = 23 \°C$. Объём воды $V = 10 \text{ л}$; площадь сечения стержня $S = 20 \, \text{см}^2$. Определите длину стержня $\text{l}$. Плотность меди $\rho_M = 8,9 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3$. Удельная теплоёмкость воды $c_B = 4,19 \cdot 10^3 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}$, удельная теплоёмкость меди $c_M = 380 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}$. Нагреванием сосуда, а также потерями тепла пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная температура воды $t_0 = 0 \, ^\circ\text{С}$
Начальная температура стержня $t_1 = 300 \, ^\circ\text{С}$
Конечная температура системы $t = 23 \, ^\circ\text{С}$
Объём воды $V = 10 \, \text{л}$
Площадь сечения стержня $S = 20 \, \text{см}^2$
Плотность меди $\rho_{\text{м}} = 8.9 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3$
Удельная теплоёмкость воды $c_{\text{в}} = 4.19 \cdot 10^3 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}$
Удельная теплоёмкость меди $c_{\text{м}} = 380 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}$
Плотность воды $\rho_{\text{в}} = 10^3 \, \text{кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$V = 10 \, \text{л} = 10 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 = 0.01 \, \text{м}^3$
$S = 20 \, \text{см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0.002 \, \text{м}^2$

Найти:

Длину стержня $\text{l}$.

Решение:

В соответствии с законом сохранения энергии для изолированной системы, количество теплоты, отданное горячим медным стержнем, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. По условию, потерями тепла и нагреванием сосуда можно пренебречь. Таким образом, можно составить уравнение теплового баланса:

$Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}}$

Количество теплоты, которое отдал медный стержень при остывании от температуры $t_1$ до конечной температуры $\text{t}$, вычисляется по формуле:

$Q_{\text{отданное}} = c_{\text{м}} m_{\text{м}} (t_1 - t)$

Количество теплоты, которое получила вода при нагревании от температуры $t_0$ до конечной температуры $\text{t}$:

$Q_{\text{полученное}} = c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t - t_0)$

Приравняв эти два выражения, получим:

$c_{\text{м}} m_{\text{м}} (t_1 - t) = c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t - t_0)$

Массу воды $m_{\text{в}}$ можно выразить через её объём $\text{V}$ и плотность $\rho_{\text{в}}$:

$m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}} V$

Массу медного стержня $m_{\text{м}}$ выразим через его плотность $\rho_{\text{м}}$, площадь поперечного сечения $\text{S}$ и искомую длину $\text{l}$:

$m_{\text{м}} = \rho_{\text{м}} V_{\text{м}} = \rho_{\text{м}} S l$

Подставим выражения для масс в уравнение теплового баланса:

$c_{\text{м}} \rho_{\text{м}} S l (t_1 - t) = c_{\text{в}} \rho_{\text{в}} V (t - t_0)$

Теперь выразим из этого уравнения длину стержня $\text{l}$:

$l = \frac{c_{\text{в}} \rho_{\text{в}} V (t - t_0)}{c_{\text{м}} \rho_{\text{м}} S (t_1 - t)}$

Подставим числовые значения в СИ:

$l = \frac{4.19 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \cdot 0.01 \cdot (23 - 0)}{380 \cdot 8.9 \cdot 10^3 \cdot 0.002 \cdot (300 - 23)}$

$l = \frac{4190 \cdot 10 \cdot 23}{380 \cdot 8900 \cdot 0.002 \cdot 277} = \frac{963700}{380 \cdot 17.8 \cdot 277} = \frac{963700}{6764 \cdot 277} = \frac{963700}{1872588}$

$l \approx 0.515 \, \text{м}$

Ответ: длина стержня $l \approx 0.515 \, \text{м}$.