Номер 4, страница 198 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 4, страница 198.

Условие.

4. В вертикальном цилиндре под поршнем, площадь поперечного сечения которого $S = 20 \text{ см}^2$, находится столб газа высотой $h = 60 \text{ см}$ при температуре $t = 27^\circ \text{C}$. Поршень может перемещаться без трения. Масса поршня $m = 10 \text{ кг}$. Цилиндр нагрели на $\Delta T = 50 \text{ К}$. Определите работу $A'$, совершённую газом. Атмосферное давление $p = 10^5 \text{ Па}$.

Решение.

Дано:

$S = 20 \text{ см}^2$

$h = 60 \text{ см}$

$t = 27 \text{ °C}$

$m = 10 \text{ кг}$

$\Delta T = 50 \text{ К}$

$p = 10^5 \text{ Па}$

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$h = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$T_1 = t + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$A'$

Решение:

Поскольку поршень может перемещаться без трения, давление газа в цилиндре остается постоянным в процессе нагревания. Этот процесс является изобарным. Давление газа $p_{газа}$ уравновешивает сумму атмосферного давления $\text{p}$ и давления, создаваемого весом поршня $p_{поршня}$.

Найдем давление, создаваемое поршнем:

$p_{поршня} = \frac{F_{тяж}}{S} = \frac{mg}{S}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$p_{поршня} = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{100}{2 \cdot 10^{-3}} \text{ Па} = 50 \cdot 10^3 \text{ Па} = 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Давление газа в цилиндре:

$p_{газа} = p + p_{поршня} = 10^5 \text{ Па} + 0.5 \cdot 10^5 \text{ Па} = 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, вычисляется по формуле:

$A' = p_{газа} \cdot \Delta V$, где $\Delta V$ - изменение объема газа.

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

где $V_1$ и $T_1$ - начальные объем и температура, а $V_2$ и $T_2$ - конечные.

Изменение объема $\Delta V = V_2 - V_1$. Из закона Гей-Люссака $V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$.

Тогда $\Delta V = V_1 \frac{T_2}{T_1} - V_1 = V_1(\frac{T_2 - T_1}{T_1}) = V_1 \frac{\Delta T}{T_1}$.

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A' = p_{газа} \cdot V_1 \frac{\Delta T}{T_1}$

Начальный объем газа $V_1$ равен:

$V_1 = S \cdot h = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0.6 \text{ м} = 1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Теперь можем вычислить работу:

$A' = 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot (1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot \frac{50 \text{ К}}{300 \text{ К}}$

$A' = (1.5 \cdot 1.2) \cdot 10^{5-3} \cdot \frac{50}{300} = 1.8 \cdot 10^2 \cdot \frac{1}{6} = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершённая газом, равна 30 Дж.