Номер 9, страница 199 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 9, страница 199.

Условие.

9. Стальной осколок снаряда, падая с высоты $h = 500$ м, имел у поверхности Земли скорость $v = 50$ м/с. На сколько градусов увеличится температура осколка при падении? Считать, что механическая энергия, потерянная осколком, полностью превратилась во внутреннюю энергию. Удельная теплоёмкость стали $c = 460$ Дж/(кг $\cdot$ К).

Решение.

Дано:

Высота падения: $h = 500$ м

Скорость у поверхности Земли: $v = 50$ м/с

Удельная теплоёмкость стали: $c = 460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Изменение температуры осколка: $\Delta T$

Решение:

Согласно условию задачи, механическая энергия, потерянная осколком из-за сопротивления воздуха, полностью превращается в его внутреннюю энергию (теплоту). Потеря механической энергии равна разности полной механической энергии осколка в начальный момент времени и в конечный.

Начальная полная механическая энергия $E_1$ на высоте $\text{h}$ (примем начальную скорость равной нулю) состояла только из потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

где $\text{m}$ — масса осколка.

Конечная полная механическая энергия $E_2$ у поверхности Земли (где $h=0$) состоит только из кинетической энергии:

$E_2 = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Потеря механической энергии $\Delta E$ в процессе падения равна:

$\Delta E = E_1 - E_2 = mgh - \frac{mv^2}{2}$

Эта потерянная энергия перешла в количество теплоты $\text{Q}$, которое пошло на нагревание осколка:

$Q = \Delta E$

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, определяется формулой:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $\Delta T$ — искомое изменение температуры.

Приравняем два выражения для энергии:

$c \cdot m \cdot \Delta T = mgh - \frac{mv^2}{2}$

Массу осколка $\text{m}$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$c \cdot \Delta T = gh - \frac{v^2}{2}$

Выразим изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{v^2}{2}}{c}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta T = \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 500 \text{ м} - \frac{(50 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2}}{460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}} = \frac{4900 - \frac{2500}{2}}{460} \frac{\text{К} \cdot \text{Дж}/\text{кг}}{\text{Дж}/\text{кг}} = \frac{4900 - 1250}{460} \text{ К} = \frac{3650}{460} \text{ К} \approx 7.93 \text{ К}$

Изменение температуры в кельвинах равно изменению температуры в градусах Цельсия ($\Delta T = \Delta t$), следовательно, температура осколка увеличится примерно на 7.93 °C.

Ответ: температура осколка увеличится на $7.93$ °C.