Номер 2, страница 262 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях. Параграф 7.6. Давление под искривлённой поверхностью жидкости - номер 2, страница 262.

Условие.

2. Выведите формулу избыточного давления под сферической поверхностью жидкости.

Решение.

Дано:
Сферическая поверхность жидкости (например, капля или пузырек газа в жидкости) радиусом $\text{R}$.
Коэффициент поверхностного натяжения жидкости - $\sigma$.
Давление внутри под сферической поверхностью - $P_{вн}$.
Давление снаружи (в окружающей среде) - $P_{внеш}$.

Найти:

Формулу избыточного (лапласовского) давления $\Delta P = P_{вн} - P_{внеш}$.

Решение:
Избыточное давление под искривленной поверхностью жидкости возникает из-за действия сил поверхностного натяжения, которые стремятся сократить площадь поверхности до минимума. Для сферической поверхности эти силы создают дополнительное давление, направленное к центру кривизны.

Выведем формулу, используя энергетический метод. Рассмотрим равновесие сферической капли жидкости. Мысленно увеличим радиус капли на бесконечно малую величину $\text{dR}$. При этом работа, совершаемая силами избыточного давления при расширении, идет на увеличение поверхностной энергии капли.

1. Найдем работу $dA_P$, совершаемую силами избыточного давления при расширении капли. Сила, действующая со стороны избыточного давления на поверхность сферы, равна $F_P = \Delta P \cdot S$, где $\text{S}$ - площадь поверхности сферы. Площадь сферы: $S = 4\pi R^2$. При увеличении радиуса на $\text{dR}$ работа этой силы составит: $dA_P = F_P \cdot dR = \Delta P \cdot 4\pi R^2 \cdot dR$.

2. Найдем работу $dA_\sigma$, идущую на увеличение поверхностной энергии жидкости. Поверхностная энергия жидкости пропорциональна площади ее поверхности: $E_\sigma = \sigma S$. Работа, совершаемая против сил поверхностного натяжения, равна приращению поверхностной энергии: $dA_\sigma = dE_\sigma = \sigma \cdot dS$. Найдем приращение площади поверхности $\text{dS}$. Начальная площадь: $S_1 = 4\pi R^2$. Конечная площадь: $S_2 = 4\pi (R+dR)^2 = 4\pi (R^2 + 2R \cdot dR + (dR)^2)$. Пренебрегая членом $(dR)^2$ как бесконечно малой величиной второго порядка, получаем: $S_2 \approx 4\pi R^2 + 8\pi R \cdot dR$. Приращение площади: $dS = S_2 - S_1 = 8\pi R \cdot dR$. Тогда работа против сил поверхностного натяжения: $dA_\sigma = \sigma \cdot 8\pi R \cdot dR$.

3. Вывод формулы. Согласно закону сохранения энергии, работа сил давления равна изменению поверхностной энергии: $dA_P = dA_\sigma$. $\Delta P \cdot 4\pi R^2 \cdot dR = \sigma \cdot 8\pi R \cdot dR$.

Сократим обе части уравнения на $4\pi R \cdot dR$ (поскольку $R>0$ и $dR>0$): $\Delta P \cdot R = 2\sigma$. Отсюда получаем искомую формулу избыточного давления, известную как формула Лапласа для сферической поверхности: $\Delta P = \frac{2\sigma}{R}$.

Ответ: Формула избыточного давления под сферической поверхностью жидкости: $\Delta P = \frac{2\sigma}{R}$, где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, а $\text{R}$ – радиус кривизны поверхности.