Номер 2, страница 328 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.3. Тепловое объёмное расширение - номер 2, страница 328.

Условие.

2. Как связаны коэффициенты линейного и объёмного расширения?

Решение.

Решение

Коэффициенты линейного и объёмного расширения связаны друг с другом и характеризуют изменение размеров тела при изменении его температуры. Установим эту связь для изотропного твёрдого тела (т.е. тела, физические свойства которого одинаковы по всем направлениям).

Коэффициент линейного теплового расширения $ \alpha $ определяет относительное изменение линейных размеров тела. При изменении температуры на $ \Delta T $ новая длина тела $ L $ связана с его первоначальной длиной $ L_0 $ соотношением:

$ L = L_0(1 + \alpha \Delta T) $

Коэффициент объёмного теплового расширения $ \beta $ определяет относительное изменение объёма тела. При изменении температуры на $ \Delta T $ новый объём тела $ V $ связан с его первоначальным объёмом $ V_0 $ соотношением:

$ V = V_0(1 + \beta \Delta T) $

Рассмотрим тело в форме куба с начальной длиной ребра $ L_0 $. Его начальный объём $ V_0 $ равен:

$ V_0 = L_0^3 $

При нагревании на $ \Delta T $ длина каждого ребра куба увеличится и станет равной $ L $. Новый объём куба $ V $ будет:

$ V = L^3 = (L_0(1 + \alpha \Delta T))^3 = L_0^3 (1 + \alpha \Delta T)^3 $

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $:

$ V = V_0(1 + 3\alpha \Delta T + 3(\alpha \Delta T)^2 + (\alpha \Delta T)^3) $

Так как коэффициент линейного расширения $ \alpha $ для твёрдых тел очень мал (обычно порядка $ 10^{-5} \text{ К}^{-1} $), то слагаемыми, содержащими $ \alpha^2 $ и $ \alpha^3 $, можно пренебречь, поскольку они значительно меньше слагаемого с $ \alpha $ в первой степени. Таким образом, с высокой степенью точности можно записать:

$ V \approx V_0(1 + 3\alpha \Delta T) $

Сравнивая это приближенное выражение с точной формулой для объёмного расширения $ V = V_0(1 + \beta \Delta T) $, мы видим, что:

$ \beta \approx 3\alpha $

Ответ: Для изотропных твёрдых тел коэффициент объёмного расширения $ \beta $ приблизительно в три раза больше коэффициента линейного расширения $ \alpha $: $ \beta \approx 3\alpha $.