Номер 1, страница 337 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.5. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 1, страница 337.

Условие.

Упражнение 8

1. Как должны относиться длины $l_1$ и $l_2$ двух стержней, сделанных из разных материалов, с температурными коэффициентами линейного расширения $\alpha_1'$ и $\alpha_1''$, чтобы при любой температуре разность длин стержней оставалась одинаковой?

Решение.

1. Дано:

Два стержня из разных материалов.
Начальные длины стержней (при некоторой начальной температуре): $l_1$ и $l_2$.
Температурные коэффициенты линейного расширения материалов стержней: $\alpha'_1$ и $\alpha''_1$.
Условие: разность длин стержней $L_1 - L_2$ является постоянной величиной при любой температуре.

Найти:

Отношение начальных длин стержней $\frac{l_1}{l_2}$.

Решение:

Длина тела при нагревании или охлаждении изменяется по закону линейного теплового расширения. Пусть $l_1$ и $l_2$ — это длины стержней при начальной температуре $T_0$. При изменении температуры на величину $\Delta T = T - T_0$, новые длины стержней $L_1$ и $L_2$ можно выразить следующими формулами:

$L_1 = l_1 (1 + \alpha'_1 \Delta T)$

$L_2 = l_2 (1 + \alpha''_1 \Delta T)$

Согласно условию задачи, разность длин стержней должна оставаться одинаковой при любой температуре. Это означает, что разность длин при новой температуре $\text{T}$ должна быть равна разности длин при начальной температуре $T_0$:

$L_1 - L_2 = l_1 - l_2$

Теперь подставим в это равенство выражения для $L_1$ и $L_2$:

$l_1 (1 + \alpha'_1 \Delta T) - l_2 (1 + \alpha''_1 \Delta T) = l_1 - l_2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$l_1 + l_1 \alpha'_1 \Delta T - l_2 - l_2 \alpha''_1 \Delta T = l_1 - l_2$

Сократим одинаковые члены ($l_1$ и $-l_2$) в обеих частях уравнения, после чего оно примет вид:

$l_1 \alpha'_1 \Delta T - l_2 \alpha''_1 \Delta T = 0$

Вынесем общий множитель $\Delta T$ за скобки:

$(l_1 \alpha'_1 - l_2 \alpha''_1) \Delta T = 0$

Поскольку это равенство должно выполняться для любого изменения температуры $\Delta T$ (кроме тривиального случая $\Delta T = 0$), выражение в скобках должно быть равно нулю:

$l_1 \alpha'_1 - l_2 \alpha''_1 = 0$

Отсюда получаем соотношение:

$l_1 \alpha'_1 = l_2 \alpha''_1$

Наконец, выразим из этого соотношения искомое отношение длин $\frac{l_1}{l_2}$:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha''_1}{\alpha'_1}$

Таким образом, для того чтобы разность длин двух стержней оставалась постоянной при изменении температуры, их начальные длины должны относиться как обратные величины их температурных коэффициентов линейного расширения.

Ответ: Отношение длин стержней должно быть равно обратному отношению их температурных коэффициентов линейного расширения: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\alpha''_1}{\alpha'_1}$.