Номер 8, страница 338 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.5. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 8, страница 338.

Условие.

8. Определите объём шарика ртутного термометра, если известно, что при температуре $t_0 = 0 \degree C$ ртуть заполняет шарик целиком, а объём канала между делениями, соответствующими $0 \degree C$ и $100 \degree C$, равен $V = 3 \text{ мм}^3$. Температурный коэффициент объёмного расширения ртути $\alpha = 1,8 \cdot 10^{-4} \text{ K}^{-1}$, температурный коэффициент линейного расширения стекла $\alpha_1 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ K}^{-1}$.

Решение.

Дано:

$t_0 = 0 \text{ °C}$
$t_1 = 100 \text{ °C}$
$V = 3 \text{ мм}^3$
$\alpha = 1,8 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$ (температурный коэффициент объёмного расширения ртути)
$\alpha_1 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}$ (температурный коэффициент линейного расширения стекла)

Перевод в систему СИ:
$V = 3 \text{ мм}^3 = 3 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3$
Изменение температуры $\Delta t = t_1 - t_0 = 100 \text{ °C} = 100 \text{ К}$

Найти:

$V_0$ — объём шарика термометра при $t_0 = 0 \text{ °C}$.

Решение:

При начальной температуре $t_0 = 0 \text{ °C}$ ртуть полностью заполняет шарик термометра. Обозначим этот начальный объём как $V_0$. Это и есть искомый объём шарика.

При нагревании до температуры $t_1 = 100 \text{ °C}$ и ртуть, и стеклянный шарик расширяются.

Объём ртути при $t_1$ станет равен:
$V_{рт} = V_0(1 + \alpha \Delta t)$

Объём стеклянного шарика также увеличится. Нам дан коэффициент линейного расширения стекла $\alpha_1$, а для расчёта изменения объёма нужен коэффициент объёмного расширения стекла $\beta_{ст}$. Для изотропных материалов, каким является стекло, он связан с линейным коэффициентом соотношением $\beta_{ст} \approx 3\alpha_1$.
$\beta_{ст} = 3 \cdot \alpha_1 = 3 \cdot 8 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1} = 24 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}$

Тогда объём полости шарика при $t_1$ станет равен:
$V_{ст} = V_0(1 + \beta_{ст} \Delta t)$

Объём ртути, который вытесняется в капилляр термометра, равен разности между новым объёмом ртути и новым объёмом шарика. По условию, этот объём равен $\text{V}$.
$V = V_{рт} - V_{ст}$

Подставим выражения для $V_{рт}$ и $V_{ст}$:
$V = V_0(1 + \alpha \Delta t) - V_0(1 + \beta_{ст} \Delta t)$
$V = V_0 + V_0 \alpha \Delta t - V_0 - V_0 \beta_{ст} \Delta t$
$V = V_0 (\alpha - \beta_{ст}) \Delta t$

Выразим из этой формулы искомый начальный объём $V_0$:
$V_0 = \frac{V}{(\alpha - \beta_{ст}) \Delta t}$

Подставим числовые значения:
$V_0 = \frac{3 \text{ мм}^3}{(1,8 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1} - 24 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}) \cdot 100 \text{ К}}$
$V_0 = \frac{3 \text{ мм}^3}{(180 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1} - 24 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}) \cdot 100 \text{ К}}$
$V_0 = \frac{3 \text{ мм}^3}{156 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1} \cdot 100 \text{ К}} = \frac{3 \text{ мм}^3}{156 \cdot 10^{-4}}$
$V_0 = \frac{30000}{156} \text{ мм}^3 \approx 192,3 \text{ мм}^3$

Ответ: Объём шарика ртутного термометра равен приблизительно $192,3 \text{ мм}^3$.