Номер 9, страница 338 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.5. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 9, страница 338.

Условие.

9. В кварцевый сосуд объёмом $V = 2,5$ л помещён латунный цилиндр, масса которого $m = 8,5$ кг. Остальная часть сосуда заполнена водой. При нагревании сосуда вместе с содержимым на $\Delta t = 3$ К уровень воды в сосуде не изменился. Найдите температурный коэффициент объёмного расширения воды. Температурный коэффициент линейного расширения кварца $\alpha_1 = 4,2 \cdot 10^{-7}$ К$^{-1}$, латуни $\alpha_2 = 2 \cdot 10^{-5}$ К$^{-1}$. Плотность латуни $\\rho= 8,5 \cdot 10^3$ кг/м$^3$.

Решение.

Дано:

$V = 2,5$ л

$m = 8,5$ кг

$\Delta t = 3$ К

$\alpha_1 = 4,2 \cdot 10^{-7}$ К⁻¹ (кварц)

$\alpha_2 = 2 \cdot 10^{-5}$ К⁻¹ (латунь)

$\rho = 8,5 \cdot 10^3$ кг/м³ (плотность латуни)

$V = 2,5 \text{ л} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$\beta_{в}$ - температурный коэффициент объёмного расширения воды.

Решение:

По условию задачи, уровень воды в сосуде не изменился при нагревании. Это означает, что изменение объёма воды в точности равно изменению объёма той части сосуда, которую она занимает. Объём, занимаемый водой, равен объёму сосуда за вычетом объёма латунного цилиндра.

Таким образом, изменение объёма воды $\Delta V_в$ равно изменению объёма сосуда $\Delta V_с$ минус изменение объёма цилиндра $\Delta V_ц$:

$\Delta V_в = \Delta V_с - \Delta V_ц$

Изменение объёма тела при нагревании определяется формулой $\Delta V = V_0 \beta \Delta t$, где $V_0$ — начальный объём, $\beta$ — коэффициент объёмного расширения, $\Delta t$ — изменение температуры.

Для воды: $\Delta V_в = V_{в0} \beta_в \Delta t$.

Для кварцевого сосуда: $\Delta V_с = V \beta_1 \Delta t$.

Для латунного цилиндра: $\Delta V_ц = V_{ц0} \beta_2 \Delta t$.

Здесь $V_{в0}$ и $V_{ц0}$ — начальные объёмы воды и цилиндра, $\beta_в$, $\beta_1$, $\beta_2$ — коэффициенты объёмного расширения воды, кварца и латуни соответственно.

Коэффициент объёмного расширения $\beta$ связан с коэффициентом линейного расширения $\alpha$ для изотропных материалов соотношением $\beta = 3\alpha$.

$\beta_1 = 3\alpha_1$ (для кварца)

$\beta_2 = 3\alpha_2$ (для латуни)

Подставим выражения для изменений объёмов в исходное равенство:

$V_{в0} \beta_в \Delta t = V \beta_1 \Delta t - V_{ц0} \beta_2 \Delta t$

Сократив на $\Delta t$, получим:

$V_{в0} \beta_в = V \beta_1 - V_{ц0} \beta_2$

Отсюда выразим искомый коэффициент $\beta_в$:

$\beta_в = \frac{V \beta_1 - V_{ц0} \beta_2}{V_{в0}}$

Найдем начальные объёмы цилиндра и воды.

Начальный объём латунного цилиндра:

$V_{ц0} = \frac{m}{\rho} = \frac{8,5 \text{ кг}}{8,5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Начальный объём воды:

$V_{в0} = V - V_{ц0} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Рассчитаем коэффициенты объёмного расширения для кварца и латуни:

$\beta_1 = 3\alpha_1 = 3 \cdot 4,2 \cdot 10^{-7} \text{ К}^{-1} = 12,6 \cdot 10^{-7} \text{ К}^{-1} = 1,26 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}$

$\beta_2 = 3\alpha_2 = 3 \cdot 2 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Подставим все найденные значения в формулу для $\beta_в$:

$\beta_в = \frac{(2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (1,26 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1}) - (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (6 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1})}{1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}$

$\beta_в = \frac{3,15 \cdot 10^{-9} - 6 \cdot 10^{-8}}{1,5 \cdot 10^{-3}} \text{ К}^{-1} = \frac{3,15 \cdot 10^{-9} - 60 \cdot 10^{-9}}{1,5 \cdot 10^{-3}} \text{ К}^{-1}$

$\beta_в = \frac{-56,85 \cdot 10^{-9}}{1,5 \cdot 10^{-3}} \text{ К}^{-1} = -37,9 \cdot 10^{-6} \text{ К}^{-1} \approx -3,8 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$

Отрицательный знак означает, что в данных условиях вода проявляет аномальные свойства расширения (её объём уменьшается при нагревании), что наблюдается при температурах от 0 °C до 4 °C.

Ответ: температурный коэффициент объёмного расширения воды равен $-3,8 \cdot 10^{-5} \text{ К}^{-1}$.