Номер 7, страница 337 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.5. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 7, страница 337.

Условие.

7. Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имеющей температуру $t_1$. При нагревании жидкости в одном из сосудов до температуры $t_2$ уровень жидкости в этом сосуде установился на высоте $h_1$, а в другом сосуде — на высоте $h_2$. Найдите температурный коэффициент объёмного расширения жидкости $\alpha$.

Решение.

Дано:

Начальная температура жидкости: $t_1$

Температура жидкости в нагретом сосуде: $t_2$

Температура жидкости в холодном сосуде: $t_1$

Высота столба жидкости в нагретом сосуде: $h_1$

Высота столба жидкости в холодном сосуде: $h_2$

Найти:

Температурный коэффициент объёмного расширения жидкости: $\alpha$

Решение:

Задача основана на законе сообщающихся сосудов и явлении теплового расширения жидкостей. В состоянии равновесия давление на любом горизонтальном уровне внутри однородной жидкости одинаково. Рассмотрим уровень на дне сосудов. Гидростатическое давление, создаваемое столбами жидкости в обоих сосудах, должно быть равным (атмосферное давление, действующее на открытые поверхности жидкости, одинаково и поэтому его можно не учитывать).

Пусть $\rho_1$ — плотность жидкости при начальной температуре $t_1$, а $\rho_2$ — плотность жидкости при температуре $t_2$. Давление, создаваемое столбом жидкости, определяется по формуле $p = \rho g h$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Давление на дне в сосуде с нагретой жидкостью: $p_{нагр} = \rho_2 g h_1$.

Давление на дне в сосуде с холодной жидкостью: $p_{хол} = \rho_1 g h_2$.

Согласно закону сообщающихся сосудов, эти давления равны:

$p_{нагр} = p_{хол}$

$\rho_2 g h_1 = \rho_1 g h_2$

Сократив $\text{g}$ в обеих частях уравнения, получаем:

$\rho_2 h_1 = \rho_1 h_2$

Теперь необходимо связать плотности жидкости при разных температурах. При нагревании от температуры $t_1$ до $t_2$ объём жидкости $V_1$ увеличивается и становится равным $V_2$ в соответствии с формулой объёмного расширения:

$V_2 = V_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

где $\alpha$ — искомый температурный коэффициент объёмного расширения.

Масса жидкости $\text{m}$ при нагревании остается постоянной ($m = \rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$). Отсюда можно выразить соотношение между плотностями:

$\rho_2 = \frac{m}{V_2} = \frac{m}{V_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))} = \frac{\rho_1}{1 + \alpha(t_2 - t_1)}$

Подставим это выражение для $\rho_2$ в уравнение равновесия давлений:

$\frac{\rho_1}{1 + \alpha(t_2 - t_1)} h_1 = \rho_1 h_2$

Сократим плотность $\rho_1$ (так как она не равна нулю):

$\frac{h_1}{1 + \alpha(t_2 - t_1)} = h_2$

Теперь выразим из этого уравнения коэффициент $\alpha$:

$h_1 = h_2 (1 + \alpha(t_2 - t_1))$

$\frac{h_1}{h_2} = 1 + \alpha(t_2 - t_1)$

$\frac{h_1}{h_2} - 1 = \alpha(t_2 - t_1)$

$\frac{h_1 - h_2}{h_2} = \alpha(t_2 - t_1)$

Окончательно получаем формулу для $\alpha$:

$\alpha = \frac{h_1 - h_2}{h_2(t_2 - t_1)}$

Ответ: $\alpha = \frac{h_1 - h_2}{h_2(t_2 - t_1)}$