Номер 2, страница 337 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 9. Тепловое расширение твёрдых и жидких тел. Параграф 9.5. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 2, страница 337.

Условие.

2. Стальная балка наглухо закреплена между двумя стенами при температуре $t_0 = 0 \text{ °C}$. При повышении температуры до $t_1 = 10 \text{ °C}$ она производит на стены давление $p_1 = 3 \cdot 10^7 \text{ Па}$. Какое давление $p_2$ будет оказывать на стены балка при температуре $t_2 = 25 \text{ °C}$?

Решение.

Дано:

$t_0 = 0 \text{ °C}$

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$p_1 = 3 \cdot 10^7 \text{ Па}$

$t_2 = 25 \text{ °C}$

Найти:

$p_2$

Решение:

При нагревании стальная балка пытается расшириться. Если бы она не была закреплена, ее длина увеличилась бы на величину $\Delta L$, определяемую формулой линейного теплового расширения:

$\Delta L = \alpha L_0 \Delta t$

где $\alpha$ – коэффициент линейного теплового расширения стали, $L_0$ – начальная длина балки, а $\Delta t$ – изменение температуры.

Поскольку балка наглухо закреплена между стенами, ее расширение невозможно. Это приводит к возникновению в балке механического напряжения (напряжения сжатия) $\sigma$. Согласно закону Гука, это напряжение связано с относительной деформацией $\epsilon$:

$\sigma = E \epsilon$

где $\text{E}$ – модуль Юнга для стали.

Относительная деформация, которую предотвращают стены, равна $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$. Подставляя сюда выражение для $\Delta L$, получаем:

$\epsilon = \frac{\alpha L_0 \Delta t}{L_0} = \alpha \Delta t$

Давление $\text{p}$, которое балка оказывает на стены, равно по модулю возникшему в ней напряжению $\sigma$. Таким образом, мы можем записать:

$p = \sigma = E \alpha \Delta t$

Из этой формулы видно, что давление, создаваемое балкой, прямо пропорционально изменению температуры относительно начальной, при которой напряжение отсутствовало.

Рассмотрим два случая:

1. При повышении температуры от $t_0$ до $t_1$ изменение температуры составляет $\Delta t_1 = t_1 - t_0$. Давление при этом равно:

$p_1 = E \alpha (t_1 - t_0)$

2. При повышении температуры от $t_0$ до $t_2$ изменение температуры составляет $\Delta t_2 = t_2 - t_0$. Давление при этом равно:

$p_2 = E \alpha (t_2 - t_0)$

Поскольку величины $\text{E}$ и $\alpha$ для данной балки являются константами, мы можем составить пропорцию, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{E \alpha (t_2 - t_0)}{E \alpha (t_1 - t_0)} = \frac{t_2 - t_0}{t_1 - t_0}$

Отсюда выразим искомое давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{t_2 - t_0}{t_1 - t_0}$

Подставим числовые значения:

$p_2 = 3 \cdot 10^7 \text{ Па} \cdot \frac{25 \text{ °C} - 0 \text{ °C}}{10 \text{ °C} - 0 \text{ °C}} = 3 \cdot 10^7 \text{ Па} \cdot \frac{25}{10} = 3 \cdot 10^7 \cdot 2.5 = 7.5 \cdot 10^7 \text{ Па}$

Ответ: $p_2 = 7.5 \cdot 10^7 \text{ Па}$.