Номер 4, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 39. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса». Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 4, страница 130.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Начальная скорость снаряда, $v_0 = 400$ м/с

Скорость падения первого осколка, $v_{1f} = 2 v_0$

Время падения второго осколка после разрыва, $t_2 = 80$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Отношение масс осколков, $\frac{m_1}{m_2}$

Решение:

1. Сначала определим высоту $H$, на которой произошел разрыв снаряда. По условию, это наивысшая точка подъема. В этой точке скорость снаряда становится равной нулю. Используем формулу для высоты подъема при движении с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $g$, направленным против движения:

$H = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим известные значения:

$H = \frac{(400 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{160000}{20} \text{ м} = 8000 \text{ м}$

2. В момент разрыва в наивысшей точке траектории полный импульс снаряда равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс двух осколков сразу после разрыва также должен быть равен нулю. Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы осколков, а $u_1$ и $u_2$ — их скорости сразу после разрыва. Направим ось OY вертикально вверх. Тогда закон сохранения импульса в проекции на эту ось запишется как:

$m_1 u_1 + m_2 u_2 = 0$

Из этого уравнения следует, что осколки разлетаются в противоположных направлениях. Искомое отношение масс можно выразить как:

$\frac{m_1}{m_2} = - \frac{u_2}{u_1}$

3. Найдем скорость первого осколка $u_1$ сразу после разрыва. Он начинает движение с высоты $H=8000$ м и приземляется со скоростью (модулем скорости) $v_{1f} = 2v_0 = 2 \cdot 400 = 800$ м/с. Для тела, движущегося под действием силы тяжести, можно использовать формулу, связывающую начальную, конечную скорости и высоту (она следует из закона сохранения механической энергии):

$v_{1f}^2 = u_1^2 + 2gH$

Отсюда выразим квадрат скорости $u_1^2$:

$u_1^2 = v_{1f}^2 - 2gH$

Подставим в эту формулу выражение для $H = \frac{v_0^2}{2g}$:

$u_1^2 = (2v_0)^2 - 2g \left(\frac{v_0^2}{2g}\right) = 4v_0^2 - v_0^2 = 3v_0^2$

Следовательно, модуль скорости первого осколка равен:

$|u_1| = \sqrt{3v_0^2} = v_0\sqrt{3} = 400\sqrt{3}$ м/с.

4. Найдем скорость второго осколка $u_2$ сразу после разрыва. Он падает с высоты $H$ за время $t_2=80$ с. Запишем уравнение движения для второго осколка (ось OY направлена вверх, начало координат на земле):

$y(t) = H + u_2 t - \frac{gt^2}{2}$

В момент приземления $t=t_2=80$ с, координата осколка $y=0$. Подставляем эти значения в уравнение:

$0 = H + u_2 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$

Выразим отсюда скорость $u_2$:

$u_2 = \frac{\frac{1}{2}gt_2^2 - H}{t_2} = \frac{gt_2}{2} - \frac{H}{t_2}$

Подставим числовые значения:

$u_2 = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 80 \text{ с}}{2} - \frac{8000 \text{ м}}{80 \text{ с}} = 400 \text{ м/с} - 100 \text{ м/с} = 300 \text{ м/с}$

Поскольку значение $u_2$ получилось положительным, это означает, что второй осколок после разрыва полетел вверх.

5. Из закона сохранения импульса мы знаем, что осколки полетели в противоположных направлениях. Так как второй осколок полетел вверх ($u_2 > 0$), то первый должен был полететь вниз ($u_1 < 0$). Таким образом, скорость первого осколка:

$u_1 = -|u_1| = -400\sqrt{3}$ м/с.

6. Теперь мы можем вычислить искомое отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = - \frac{u_2}{u_1} = - \frac{300 \text{ м/с}}{-400\sqrt{3} \text{ м/с}} = \frac{300}{400\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Отношение масс осколков (первого ко второму) равно $\frac{\sqrt{3}}{4}$.