Номер 2, страница 129 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 39. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса». Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 2, страница 129.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса плота $m_1 = 100$ кг

Начальная скорость плота $v_1 = 1$ м/с

Масса человека $m_2 = 50$ кг

Начальная скорость человека $v_2 = 1,5$ м/с

Скорость плота $\vec{v_1}$ направлена вдоль берега, а скорость человека $\vec{v_2}$ перпендикулярна берегу.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость плота с человеком $u$ - ?

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса. Систему «плот + человек» можно считать замкнутой в горизонтальной плоскости, поскольку внешние силы (сила тяжести и выталкивающая сила) уравновешены, а сопротивлением воды можно пренебречь. Прыжок человека на плот является абсолютно неупругим ударом, так как после взаимодействия они движутся как единое целое.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1+m_2)\vec{u}$

где $\vec{u}$ — скорость плота с человеком после взаимодействия.

Введем прямоугольную систему координат: ось $Ox$ направим вдоль берега (по направлению движения плота), а ось $Oy$ — перпендикулярно берегу (по направлению прыжка человека).

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на эти оси:

Проекция на ось $Ox$: $m_1 v_1 + 0 = (m_1 + m_2) u_x$

Проекция на ось $Oy$: $0 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u_y$

Из этих уравнений выразим проекции конечной скорости $u_x$ и $u_y$:

$u_x = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

$u_y = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u_x = \frac{100 \cdot 1}{100 + 50} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}$ м/с

$u_y = \frac{50 \cdot 1,5}{100 + 50} = \frac{75}{150} = 0,5$ м/с

Модуль конечной скорости $u$ найдем по теореме Пифагора, так как вектор скорости $\vec{u}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $u_x$ и $u_y$:

$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$

$u = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (0,5)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16+9}{36}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$ м/с

Для практического представления можно перевести в десятичную дробь:

$u = \frac{5}{6} \text{ м/с} \approx 0,833$ м/с

Ответ: скорость плота с прыгнувшим на него человеком равна $\frac{5}{6}$ м/с (приблизительно 0,83 м/с).