Номер 3, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 39. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса». Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 3, страница 130.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$u$ - скорость истечения газов относительно ракеты

$V_p$ - скорость ракеты (относительно неподвижной системы отсчета, например, Земли)

Условие 1: $u < V_p$

Условие 2: газы летят вслед за ракетой, т.е. их скорость $V_г$ относительно неподвижной системы отсчета направлена в ту же сторону, что и $V_p$.

Найти:

Будет ли увеличиваться скорость ракеты (т.е. будет ли приращение скорости $dV_p$ положительным)?

Решение:

Движение ракеты основано на законе сохранения импульса. Ускорение ракеты происходит за счет отбрасывания части своей массы (продуктов сгорания топлива), что создает реактивную силу. Этот принцип не зависит от скорости ракеты.

Рассмотрим систему «ракета + газ» в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Направим ось координат в сторону движения ракеты.

Скорость выброшенного газа $V_г$ относительно Земли находится по классическому закону сложения скоростей. Скорость ракеты равна $V_p$. Газы выбрасываются в направлении, противоположном движению ракеты, поэтому их скорость относительно ракеты равна $-u$. Таким образом, абсолютная скорость газов: $V_г = V_p - u$

Условие, что «газы летят вслед за ракетой», означает, что их скорость относительно Земли $V_г$ положительна: $V_г > 0$. Это эквивалентно условию $V_p - u > 0$, или $V_p > u$, что полностью соответствует другому условию задачи: «скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты». Следовательно, описанная ситуация физически непротиворечива.

Теперь применим закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент ракета имеет массу $M$ и скорость $V_p$. За малый промежуток времени она выбрасывает порцию газа массой $dm$. Масса ракеты становится $M-dm$, а ее скорость увеличивается на $dV_p$ и становится $V_p + dV_p$. Масса газа $dm$ движется со скоростью $V_г = V_p - u$.

Импульс системы до отделения газа: $P_1 = M V_p$.

Импульс системы после отделения газа: $P_2 = (M-dm)(V_p + dV_p) + dm(V_p - u)$.

По закону сохранения импульса для замкнутой системы $P_1 = P_2$: $M V_p = (M-dm)(V_p + dV_p) + dm(V_p - u)$

Раскроем скобки, пренебрегая произведением бесконечно малых величин $dm \cdot dV_p$: $M V_p = M V_p + M dV_p - dm \cdot V_p - dm \cdot dV_p + dm \cdot V_p - dm \cdot u$ $M V_p \approx M V_p + M dV_p - u \cdot dm$

Сократив одинаковые члены, получим уравнение Мещерского: $0 = M dV_p - u \cdot dm$ $M dV_p = u \cdot dm$

Отсюда выразим приращение скорости ракеты: $dV_p = \frac{u}{M} dm$

В этом выражении все величины в правой части положительны: $u$ (скорость истечения газов относительно ракеты), $M$ (текущая масса ракеты) и $dm$ (масса выброшенного газа). Следовательно, приращение скорости ракеты $dV_p$ всегда будет положительным ($dV_p > 0$), пока ракета выбрасывает газ. Это означает, что ракета будет ускоряться.

Ускорение ракеты $a = \frac{dV_p}{dt}$ равно $a = \frac{u}{M} \frac{dm}{dt}$. Так как $a > 0$, скорость ракеты будет увеличиваться. Условие $u < V_p$ влияет лишь на направление движения отработавших газов в неподвижной системе отсчета, но не на сам факт ускорения ракеты. Реактивная сила, толкающая ракету вперед, зависит только от скорости истечения газов относительно ракеты и расхода топлива, и она всегда направлена в сторону движения, если газы выбрасываются назад.

Ответ:

Да, скорость ракеты будет увеличиваться. Ускорение ракеты определяется реактивной силой, которая возникает в результате отбрасывания газов. Эта сила зависит от скорости истечения газов относительно ракеты ($u$) и от скорости сгорания топлива ($dm/dt$), а не от абсолютной скорости ракеты ($V_p$). Пока ракета выбрасывает газ ($dm > 0$), на нее действует постоянная (при постоянном расходе топлива) ускоряющая сила, и ее скорость растет, независимо от соотношения между $u$ и $V_p$.