Номер 2, страница 164 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 50. Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела». Глава 5. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 2, страница 164.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$L = 60 \text{ см}$

$m = 1 \text{ кг}$

$I = \frac{mL^2}{3}$

Перевод в систему СИ:

$L = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$v_{max}$ — максимальную линейную скорость стержня;

Точку стержня, которая движется с этой скоростью.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарнира (оси вращения). Стержень является однородным, поэтому его центр масс находится на расстоянии $L/2$ от конца, закрепленного в шарнире.

1. Начальное состояние. Стержень находится в горизонтальном положении. Его центр масс расположен на одном уровне с шарниром, поэтому начальная потенциальная энергия $E_{p1} = 0$. Так как стержень отпускают из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия также равна нулю: $E_{k1} = 0$. Полная начальная механическая энергия системы: $E_1 = E_{p1} + E_{k1} = 0$.

2. Конечное состояние. Стержень проходит положение равновесия, то есть занимает вертикальное положение. В этом состоянии его центр масс опустился на высоту $h = L/2$ относительно начального положения. Потенциальная энергия стержня стала отрицательной: $E_{p2} = -mgh = -mg\frac{L}{2}$.

В положении равновесия стержень обладает кинетической энергией вращательного движения $E_{k2} = \frac{I\omega^2}{2}$, где $\omega$ — его угловая скорость. Полная механическая энергия в конечном состоянии: $E_2 = E_{p2} + E_{k2} = -\frac{mgL}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной, то есть $E_1 = E_2$:

$0 = -\frac{mgL}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$

Отсюда следует, что прирост кинетической энергии равен убыли потенциальной энергии:

$\frac{I\omega^2}{2} = \frac{mgL}{2}$

Подставим в это уравнение данное в условии выражение для момента инерции стержня $I = \frac{mL^2}{3}$:

$\frac{1}{2}\left(\frac{mL^2}{3}\right)\omega^2 = \frac{mgL}{2}$

$\frac{mL^2\omega^2}{6} = \frac{mgL}{2}$

Сократим обе части уравнения на $m$, $L$ и $2$:

$\frac{L\omega^2}{3} = g$

Выразим угловую скорость $\omega$:

$\omega^2 = \frac{3g}{L}$

$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$

Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$\omega = \sqrt{\frac{3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{29.4}{0.6}} = \sqrt{49} = 7 \text{ рад/с}$

Линейная скорость $v$ точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, связана с угловой скоростью $\omega$ формулой $v = \omega r$. Максимальная линейная скорость будет у точки, наиболее удаленной от оси вращения. Для стержня, вращающегося вокруг одного из своих концов, это будет его свободный конец, для которого $r = L$.

Таким образом, максимальная линейная скорость равна:

$v_{max} = \omega L$

$v_{max} = 7 \text{ рад/с} \cdot 0.6 \text{ м} = 4.2 \text{ м/с}$

Ответ: Максимальная линейная скорость стержня при прохождении положения равновесия равна $4.2 \text{ м/с}$. Этой скоростью обладает точка на свободном конце стержня.