Номер 4, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 49. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия абсолютного твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Глава 5. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 4, страница 161.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Высота, с которой движутся тела - $h$

Тело 1 - брусок, соскальзывающий с наклонной плоскости

Тело 2 - диск, скатывающийся с наклонной плоскости

Начальная скорость обоих тел равна нулю.

Работой силы трения можно пренебречь ($A_{тр} \approx 0$).

Найти:

Сравнить конечные скорости бруска ($v_б$) и диска ($v_д$).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Так как работой силы трения можно пренебречь, полная механическая энергия системы (тело + Земля) сохраняется. В начальный момент времени оба тела находятся на высоте $h$ и покоятся, поэтому их полная энергия равна потенциальной энергии.

$E_{начальная} = E_p = mgh$

В конечный момент времени, у основания наклонной плоскости ($h=0$), вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Однако виды кинетической энергии для бруска и диска будут разными.

1. Движение бруска

Брусок совершает только поступательное движение (соскальзывает). Следовательно, его потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую энергию поступательного движения.

Закон сохранения энергии для бруска:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$m_б g h = \frac{1}{2} m_б v_б^2$

где $m_б$ - масса бруска, $v_б$ - его конечная скорость. Сократив массу, получим выражение для квадрата скорости бруска:

$v_б^2 = 2gh$

2. Движение диска

Диск скатывается, то есть участвует одновременно в двух видах движения: поступательном и вращательном. Его начальная потенциальная энергия переходит в сумму кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.

Закон сохранения энергии для диска:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$m_д g h = \frac{1}{2} m_д v_д^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$

где $m_д$ - масса диска, $v_д$ - его конечная скорость, $I$ - момент инерции диска, $\omega$ - его угловая скорость.

Момент инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр, равен $I = \frac{1}{2} m_д R^2$, где $R$ - радиус диска.

При скатывании без проскальзывания линейная скорость $v$ и угловая скорость $\omega$ связаны соотношением $v = \omega R$, откуда $\omega = \frac{v_д}{R}$.

Подставим выражения для $I$ и $\omega$ в уравнение сохранения энергии:

$m_д g h = \frac{1}{2} m_д v_д^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_д R^2 \right) \left( \frac{v_д}{R} \right)^2$

Упростим правую часть:

$m_д g h = \frac{1}{2} m_д v_д^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m_д R^2 \right) \frac{v_д^2}{R^2} = \frac{1}{2} m_д v_д^2 + \frac{1}{4} m_д v_д^2$

$m_д g h = \frac{3}{4} m_д v_д^2$

Сократив массу, получим выражение для квадрата скорости диска:

$v_д^2 = \frac{4}{3}gh$

3. Сравнение скоростей

Теперь сравним полученные выражения для квадратов скоростей бруска и диска:

$v_б^2 = 2gh$

$v_д^2 = \frac{4}{3}gh \approx 1.33gh$

Так как $2 > \frac{4}{3}$, то $v_б^2 > v_д^2$, и, следовательно, $v_б > v_д$.

Это объясняется тем, что у диска часть начальной потенциальной энергии расходуется на сообщение ему вращательного движения, поэтому на долю поступательного движения "остается" меньше энергии, чем у бруска, вся потенциальная энергия которого переходит только в поступательную кинетическую энергию.

Ответ: Скорость бруска будет больше скорости диска.