Номер 4, страница 220 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 65. Примеры решения задач по теме «Энергия теплового движения молекул». Глава 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа - номер 4, страница 220.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Начальная температура, $t_1 = 37 \degree C$

Конечная температура, $t_2 = 40 \degree C$

Перевод температур в абсолютную шкалу (систему СИ):

$T_1 = t_1 + 273.15 = 37 + 273.15 = 310.15 \text{ К}$

$T_2 = t_2 + 273.15 = 40 + 273.15 = 313.15 \text{ К}$

Найти:

Процентное увеличение средней квадратичной скорости: $\frac{\Delta v_{кв}}{v_{кв1}} \times 100\%$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул ($v_{кв}$) связана с абсолютной температурой ($T$) через основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул пропорциональна абсолютной температуре:

$\frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$

где $m_0$ - масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ - средний квадрат скорости, $k$ - постоянная Больцмана.

Отсюда средняя квадратичная скорость, которая по определению равна $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, выражается как:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

Из этой формулы видно, что средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры:

$v_{кв} \propto \sqrt{T}$

Пусть $v_1$ - начальная скорость при температуре $T_1$, а $v_2$ - конечная скорость при температуре $T_2$. Тогда их отношение равно:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась скорость, используем формулу для нахождения процентного изменения:

$\frac{\Delta v}{v_1} \times 100\% = \frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100\% = \left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100\%$

Подставим в эту формулу найденное отношение скоростей:

$\text{Процентное увеличение} = \left( \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1 \right) \times 100\%$

Теперь подставим числовые значения температур в Кельвинах:

$\left( \sqrt{\frac{313.15}{310.15}} - 1 \right) \times 100\% \approx \left( \sqrt{1.009673} - 1 \right) \times 100\%$

$\approx (1.004825 - 1) \times 100\% = 0.004825 \times 100\% = 0.4825\%$

Округлим результат до сотых долей процента.

Ответ: Средняя квадратичная скорость молекул воды увеличится примерно на $0.48\%$.