Номер 1, страница 218 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 64. Измерение скоростей молекул газа. Глава 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа - номер 1, страница 218.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса одной молекулы газа: $m$

Начальная средняя квадратичная скорость: $\overline{v}_{\text{кв}1} = \overline{v}_{\text{кв}}$

Начальная абсолютная температура: $T_1 = T$

Конечная абсолютная температура: $T_2 = 2T$

Найти:

Конечная средняя квадратичная скорость $\overline{v}_{\text{кв}2}$?

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой. Эта связь устанавливается через основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

С одной стороны, средняя кинетическая энергия одной молекулы по определению равна: $E_k = \frac{m \overline{v}_{\text{кв}}^2}{2}$ где $m$ — масса одной молекулы, а $\overline{v}_{\text{кв}}$ — ее средняя квадратичная скорость.

С другой стороны, из молекулярно-кинетической теории известно, что средняя кинетическая энергия молекул газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре $T$: $E_k = \frac{3}{2}kT$ где $k$ – постоянная Больцмана.

Приравнивая эти два выражения для энергии, получаем формулу, связывающую среднюю квадратичную скорость молекул с температурой газа: $\frac{m \overline{v}_{\text{кв}}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$

Выразим из этого уравнения среднюю квадратичную скорость: $m \overline{v}_{\text{кв}}^2 = 3kT$ $\overline{v}_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

Из полученной формулы видно, что средняя квадратичная скорость молекул пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры: $\overline{v}_{\text{кв}} \propto \sqrt{T}$.

Теперь мы можем составить отношение для начального и конечного состояний газа. Пусть $\overline{v}_{\text{кв}1}$ и $T_1$ — начальные скорость и температура, а $\overline{v}_{\text{кв}2}$ и $T_2$ — конечные. $\frac{\overline{v}_{\text{кв}2}}{\overline{v}_{\text{кв}1}} = \frac{\sqrt{\frac{3kT_2}{m}}}{\sqrt{\frac{3kT_1}{m}}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$

Подставим в это соотношение данные из условия задачи: $T_1 = T$ и $T_2 = 2T$, а также $\overline{v}_{\text{кв}1} = \overline{v}_{\text{кв}}$: $\frac{\overline{v}_{\text{кв}2}}{\overline{v}_{\text{кв}}} = \sqrt{\frac{2T}{T}} = \sqrt{2}$

Отсюда находим искомую конечную среднюю квадратичную скорость: $\overline{v}_{\text{кв}2} = \sqrt{2} \cdot \overline{v}_{\text{кв}}$

Следовательно, при увеличении абсолютной температуры в 2 раза, средняя квадратичная скорость молекул увеличится в $\sqrt{2}$ раз. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $3) \sqrt{2}\overline{v}_{\text{кв}}$