Номер 5, страница 256 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. Какого диаметра должны быть капилляры дерева, чтобы вода поднималась по стволу на высоту 10 м?

Дано:

Высота подъема воды, $h = 10$ м

Плотность воды, $\rho \approx 1000$ кг/м³

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $\sigma \approx 0.073$ Н/м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Считаем смачивание полным, поэтому краевой угол $\theta = 0^\circ$, и $\cos\theta = 1$.

Найти:

Диаметр капилляров, $d$ - ?

Решение:

Подъем жидкости в капилляре обусловлен явлением капиллярности. Высота $h$, на которую поднимается жидкость, зависит от ее свойств (поверхностного натяжения $\sigma$, плотности $\rho$) и радиуса капилляра $r$. Эта зависимость описывается формулой Жюрена:

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$

где $\theta$ – краевой угол смачивания, а $g$ – ускорение свободного падения.

В данной задаче требуется найти диаметр капилляра $d$. Диаметр связан с радиусом соотношением $d = 2r$, из которого следует, что $r = \frac{d}{2}$.

Подставим выражение для радиуса в формулу высоты подъема жидкости:

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g (\frac{d}{2})} = \frac{4\sigma\cos\theta}{\rho g d}$

Из этой формулы выразим искомый диаметр $d$:

$d = \frac{4\sigma\cos\theta}{\rho g h}$

Стенки капилляров в древесине (состоящие в основном из целлюлозы) хорошо смачиваются водой. Поэтому мы можем принять, что смачивание является полным, то есть краевой угол $\theta$ равен нулю, а его косинус $\cos(0^\circ) = 1$.

Теперь можно подставить числовые значения в полученную формулу для расчета диаметра:

$d = \frac{4 \cdot 0.073 \, \text{Н/м}}{1000 \, \text{кг/м³} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot 10 \, \text{м}}$

$d = \frac{0.292}{98000} \approx 0.00000298 \, \text{м}$

Полученное значение очень мало, поэтому его удобнее представить в микрометрах (мкм), зная, что $1$ мкм $= 10^{-6}$ м:

$d \approx 2.98 \cdot 10^{-6} \, \text{м} = 2.98 \, \text{мкм}$

Ответ: чтобы вода поднималась по стволу на высоту 10 м, диаметр капилляров дерева должен быть примерно равен $2.98$ мкм.