Номер 1000, страница 136, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Физика атомного ядра. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Изотопы. Нейтрон - номер 1000, страница 136.

Условие.

1000. [842] Период полураспада изотопа иода $\text{I}^{131}_{53}$ равен 8 сут. Сколько радиоактивных изотопов останется в образце через месяц, если начальная масса образца 50 г?

Решение.

Дано:
Изотоп иода: $_{53}^{131}I$
Период полураспада, $T_{1/2} = 8$ сут
Время, $t = 1$ месяц (примем равным 30 сут)
Начальная масса, $m_0 = 50$ г
Молярная масса изотопа иода-131, $M \approx 131$ г/моль
Число Авогадро, $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$

$T_{1/2} = 8 \text{ сут} = 8 \times 24 \times 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$
$t = 30 \text{ сут} = 30 \times 24 \times 3600 \text{ с} = 2592000 \text{ с}$
$m_0 = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
$M = 131 \text{ г/моль} = 0.131 \text{ кг/моль}$

Найти:
Число оставшихся радиоактивных изотопов, $\text{N}$ - ?

Решение:
Задача решается в два этапа. Сначала найдем массу радиоактивного изотопа, которая останется через месяц, используя закон радиоактивного распада. Затем, зная массу, вычислим соответствующее ей число изотопов (атомов).

1. Закон радиоактивного распада для массы вещества имеет вид:
$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
где $m_0$ — начальная масса, $\text{m}$ — масса вещества, оставшаяся через время $\text{t}$, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Показатель степени $\frac{t}{T_{1/2}}$ является безразмерной величиной, поэтому для его вычисления можно использовать значения времени $\text{t}$ и периода полураспада $T_{1/2}$ в одних и тех же единицах, например, в сутках.
$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30 \text{ сут}}{8 \text{ сут}} = 3.75$

Теперь можем найти массу оставшегося изотопа:
$m = 50 \text{ г} \cdot 2^{-3.75} \approx 50 \text{ г} \cdot 0.0743 \approx 3.715 \text{ г}$

2. Зная массу оставшегося радиоактивного вещества, найдем число изотопов $\text{N}$ в нем. Число атомов (изотопов) связано с массой вещества $\text{m}$, его молярной массой $\text{M}$ и числом Авогадро $N_A$ соотношением:
$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Подставим числовые значения:
$N \approx \frac{3.715 \text{ г}}{131 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
$N \approx 0.02836 \text{ моль} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1.71 \times 10^{22}$

Таким образом, через месяц в образце останется $1.71 \times 10^{22}$ радиоактивных изотопов иода-131.

Ответ: $1.71 \times 10^{22}$ изотопов.