Номер 1006, страница 136, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Физика атомного ядра. Строение атомного ядра. Энергия связи - номер 1006, страница 136.

Условие.

1006. [848] Сравните энергию связи электрона с ядром в атоме водорода и удельную энергию связи ядра изотопа водорода ${}_1^2\text{H}$. Масса ядра изотопа водорода 2,014102 а. е. м. Энергия связи электрона с ядром рассчитывается по формуле $E_{\text{св. эл.}} = k\frac{q^2}{r_1}$, где $r_1$ — радиус первой боровской орбиты.

Решение.

Дано:

$m_{я}(^2_1\text{H}) = 2,014102 \text{ а. е. м.}$ (масса ядра дейтерия)

$m_p = 1,007276 \text{ а. е. м.}$ (масса протона)

$m_n = 1,008665 \text{ а. е. м.}$ (масса нейтрона)

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

$q = e = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (элементарный заряд)

$r_1 = 5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м}$ (радиус первой боровской орбиты)

$1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$ (энергетический эквивалент атомной единицы массы)

$1 \text{ эВ} = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Сравнить энергию связи электрона с ядром в атоме водорода ($E_{св. эл.}$) и удельную энергию связи ядра изотопа водорода $^2_1$H ($E_{уд.}$).

Решение:

Задача требует рассчитать и сравнить две величины: энергию, связывающую электрон с ядром (электромагнитное взаимодействие), и удельную энергию, связывающую нуклоны в ядре (сильное взаимодействие).

1. Энергия связи электрона с ядром в атоме водорода

Энергия связи электрона в атоме водорода на первой боровской орбите (в основном состоянии) равна по модулю его полной энергии. Полная энергия является суммой кинетической и потенциальной энергий и равна половине потенциальной энергии. Формула, данная в условии $E_{св. эл.} = k\frac{q^2}{r_1}$, представляет собой модуль потенциальной энергии. Энергия связи (она же энергия ионизации) равна:

$E_{св. эл.} = \frac{1}{2} k \frac{q^2}{r_1}$

Подставим числовые значения:

$E_{св. эл.} = \frac{1}{2} \cdot (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{(1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx 2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Переведем эту энергию в электрон-вольты (эВ) для удобства сравнения с ядерными энергиями:

$E_{св. эл.} = \frac{2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 13,6 \text{ эВ}$

Это хорошо известное значение энергии ионизации атома водорода.

Ответ: Энергия связи электрона с ядром в атоме водорода составляет $13,6 \text{ эВ}$.

2. Удельная энергия связи ядра изотопа водорода $^2_1$H

Удельная энергия связи ядра — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Сначала найдем полную энергию связи ядра дейтерия ($^2_1$H), которое состоит из одного протона ($Z=1$) и одного нейтрона ($N=1$). Массовое число $A = Z+N = 2$.

Энергия связи ядра вычисляется через дефект масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна $E_{св. я.} = \Delta m \cdot c^2$.

Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра:

$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_я(^2_1\text{H})$

$\Delta m = (1 \cdot 1,007276 \text{ а. е. м.} + 1 \cdot 1,008665 \text{ а. е. м.}) - 2,014102 \text{ а. е. м.}$

$\Delta m = 2,015941 \text{ а. е. м.} - 2,014102 \text{ а. е. м.} = 0,001839 \text{ а. е. м.}$

Теперь найдем энергию связи, используя энергетический эквивалент 1 а. е. м.:

$E_{св. я.} = \Delta m \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}} = 0,001839 \text{ а. е. м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}} \approx 1,713 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи $E_{уд.}$ равна полной энергии связи, деленной на число нуклонов в ядре $\text{A}$:

$E_{уд.} = \frac{E_{св. я.}}{A} = \frac{1,713 \text{ МэВ}}{2} \approx 0,857 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: Удельная энергия связи ядра изотопа водорода $^2_1$H составляет примерно $0,857 \text{ МэВ/нуклон}$.

Сравнение энергий

Теперь сравним полученные значения. Для этого приведем их к одной единице измерения, например, к электрон-вольтам (эВ):

$E_{св. эл.} = 13,6 \text{ эВ}$

$E_{уд.} = 0,857 \text{ МэВ} = 0,857 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 857000 \text{ эВ}$

Найдем отношение этих энергий:

$\frac{E_{уд.}}{E_{св. эл.}} = \frac{857000 \text{ эВ}}{13,6 \text{ эВ}} \approx 63015$

Таким образом, удельная энергия связи ядра дейтерия примерно в 63 тысячи раз больше энергии связи электрона в атоме водорода.

Ответ:

Удельная энергия связи ядра изотопа водорода ($E_{уд.} \approx 0,857 \text{ МэВ}$) на много порядков (примерно в 63000 раз) больше энергии связи электрона с ядром в атоме водорода ($E_{св. эл.} = 13,6 \text{ эВ}$). Это демонстрирует, что ядерные силы, удерживающие нуклоны в ядре, значительно мощнее электромагнитных сил, удерживающих электрон в атоме.