Номер 1002, страница 136, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Физика атомного ядра. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Изотопы. Нейтрон - номер 1002, страница 136.

Условие.

1002. [844] Процентное содержание калия в организме человека около 0,19 % от его массы. При этом радиоактивные ядра калия составляют 0,012 %, период полураспада изотопа $_{19}^{40}\text{K}$ 1,24 млрд лет. Сколько ядер изотопа распадается в тканях организма человека с массой 50 кг за 1 с?

Решение.

Дано:

Масса человека: $m_{чел} = 50$ кг

Процентное содержание калия: $c_K = 0,19 \% = 0,0019$

Процентное содержание изотопа $_{19}^{40}\text{K}$ в природном калии: $c_{^{40}\text{K}} = 0,012 \% = 0,00012$

Период полураспада $_{19}^{40}\text{K}$: $T_{1/2} = 1,24$ млрд лет

Промежуток времени: $\Delta t = 1$ с

Молярная масса изотопа $_{19}^{40}\text{K}$: $M \approx 40$ г/моль

Число Авогадро: $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в СИ:

$M = 40 \text{ г/моль} = 0,04 \text{ кг/моль}$

$T_{1/2} = 1,24 \cdot 10^9 \text{ лет} = 1,24 \cdot 10^9 \cdot 3,156 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 3,913 \cdot 10^{16} \text{ с}$

Найти:

Число распавшихся ядер за 1 с: $\Delta N$

Решение:

1. Сначала найдем массу всего калия в организме человека:

$m_K = m_{чел} \cdot c_K = 50 \text{ кг} \cdot 0,0019 = 0,095 \text{ кг}$

2. Затем вычислим массу радиоактивного изотопа калия-40 ($_{19}^{40}\text{K}$) в организме:

$m_{^{40}\text{K}} = m_K \cdot c_{^{40}\text{K}} = 0,095 \text{ кг} \cdot 0,00012 = 1,14 \cdot 10^{-5} \text{ кг}$

3. Определим общее количество ядер изотопа $_{19}^{40}\text{K}$ ($\text{N}$) в организме, используя молярную массу и число Авогадро:

$N = \frac{m_{^{40}\text{K}}}{M} \cdot N_A$

$N = \frac{1,14 \cdot 10^{-5} \text{ кг}}{0,04 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,716 \cdot 10^{20}$ ядер

4. Число распавшихся ядер за промежуток времени $\Delta t$ определяется по закону радиоактивного распада. Так как промежуток времени $\Delta t = 1$ с очень мал по сравнению с периодом полураспада $T_{1/2}$, количество ядер $\text{N}$ можно считать постоянным. В этом случае число распадов $\Delta N$ можно найти по формуле:

$\Delta N = A \cdot \Delta t = \lambda N \Delta t$

где $\text{A}$ - активность образца, а $\lambda$ – постоянная распада, которая связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

5. Вычислим постоянную распада:

$\lambda = \frac{0,693}{3,913 \cdot 10^{16} \text{ с}} \approx 1,771 \cdot 10^{-17} \text{ с}^{-1}$

6. Теперь найдем число распавшихся ядер за 1 секунду:

$\Delta N = \lambda \cdot N \cdot \Delta t = 1,771 \cdot 10^{-17} \text{ с}^{-1} \cdot 1,716 \cdot 10^{20} \cdot 1 \text{ с} \approx 3039,6$

Округляя результат, получаем, что за 1 секунду распадается около 3040 ядер.

Ответ: За 1 секунду в тканях организма человека распадается примерно 3040 ядер изотопа $_{19}^{40}\text{K}$.