Номер 124, страница 20, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдых тел - номер 124, страница 20.

Условие.

124. [115] Два трактора вытягивают застрявшую машину с помощью нерастяжимых канатов (рис. 21). Угол между канатами равен $\alpha$, а скорости тракторов равны соответственно $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Определите модуль и направление скорости $\vec{v}$ машины.

Рис. 21

Решение.

Дано:

Угол между канатами: $ \alpha $
Скорость первого трактора: $ v_1 $
Скорость второго трактора: $ v_2 $

Перевод в систему СИ не требуется, так как решение представлено в общем виде.

Найти:

Модуль скорости машины: $ v $
Направление скорости машины.

Решение:

Поскольку канаты нерастяжимы, проекция вектора скорости машины $ \vec{v} $ на направление каждого каната должна быть равна скорости соответствующего трактора. Пусть $ \vec{u}_1 $ и $ \vec{u}_2 $ — единичные векторы, направленные вдоль канатов.

Математически это условие можно записать в виде скалярных произведений:
$ \vec{v} \cdot \vec{u}_1 = v_1 $
$ \vec{v} \cdot \vec{u}_2 = v_2 $

Для решения задачи введем декартову систему координат. Направим ось $ Ox $ вдоль первого каната (в направлении вектора скорости $ \vec{v}_1 $), а начало координат поместим в точку крепления канатов к машине. В этой системе координат единичные векторы направлений будут иметь следующие координаты:
$ \vec{u}_1 = (1, 0) $
$ \vec{u}_2 = (\cos\alpha, \sin\alpha) $

Пусть искомая скорость машины имеет компоненты $ \vec{v} = (v_x, v_y) $. Запишем условия нерастяжимости в координатах:

1) $ \vec{v} \cdot \vec{u}_1 = (v_x, v_y) \cdot (1, 0) = v_x $. Отсюда следует, что $ v_x = v_1 $.

2) $ \vec{v} \cdot \vec{u}_2 = (v_x, v_y) \cdot (\cos\alpha, \sin\alpha) = v_x \cos\alpha + v_y \sin\alpha $. Отсюда следует, что $ v_x \cos\alpha + v_y \sin\alpha = v_2 $.

Мы получили систему двух линейных уравнений для компонент $ v_x $ и $ v_y $. Подставим $ v_x = v_1 $ во второе уравнение:

$ v_1 \cos\alpha + v_y \sin\alpha = v_2 $

Выразим из этого уравнения $ v_y $ (считая, что $ \alpha \neq 0 $ и $ \alpha \neq \pi $, иначе задача вырождена):

$ v_y \sin\alpha = v_2 - v_1 \cos\alpha \implies v_y = \frac{v_2 - v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha} $

Теперь, зная обе компоненты скорости $ v_x = v_1 $ и $ v_y = \frac{v_2 - v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha} $, мы можем найти модуль и направление скорости машины.

Модуль скорости $ v $ найдем по теореме Пифагора:

$ v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_1^2 + \left(\frac{v_2 - v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2} $

Преобразуем выражение:

$ v^2 = v_1^2 + \frac{v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha + v_1^2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{v_1^2\sin^2\alpha + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha + v_1^2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ v^2 = \frac{v_1^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha}{\sin^2\alpha} $

Извлекая корень, получаем модуль скорости (считая $ 0 < \alpha < \pi $, так что $ \sin\alpha > 0 $):

$ v = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha}}{\sin\alpha} $

Направление скорости определим углом $ \beta $, который вектор $ \vec{v} $ образует с направлением первого каната (осью $ Ox $). Тангенс этого угла равен отношению компонент скорости:

$ \tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\frac{v_2 - v_1\cos\alpha}{\sin\alpha}}{v_1} = \frac{v_2 - v_1\cos\alpha}{v_1\sin\alpha} $

Ответ: Модуль скорости машины равен $ v = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 \cos \alpha}}{\sin \alpha} $. Направление скорости составляет угол $ \beta $ с направлением первого каната, тангенс которого равен $ \tan\beta = \frac{v_2 - v_1 \cos \alpha}{v_1 \sin \alpha} $.