Номер 123, страница 20, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдых тел - номер 123, страница 20.

Условие.

123. [114] Лестница, стоящая у стены, начинает падать, причём верхний конец скользит вдоль стены (рис. 20). Когда угол наклона лестницы к полу равен $30^\circ$, скорость нижнего конца лестницы равна $2 \text{ м/с}$. Определите скорость верхнего конца лестницы в этот момент времени.

Рис. 20

Решение.

Дано:
Угол наклона лестницы к полу, $ \alpha = 30^\circ $
Скорость нижнего конца лестницы, $ v_x = 2 \text{ м/с} $

Найти:
Скорость верхнего конца лестницы, $ v_y $.

Решение:

Пусть $ L $ — постоянная длина лестницы. Введём систему координат: ось $ Ox $ направим вдоль пола, а ось $ Oy $ — вдоль стены. Тогда положение нижнего конца лестницы определяется координатой $ x $, а верхнего — координатой $ y $.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного лестницей, стеной и полом, в любой момент времени справедливо соотношение: $ x^2 + y^2 = L^2 $

Поскольку лестница падает, координаты $ x $ и $ y $ изменяются со временем, то есть являются функциями времени $ t $: $ x(t) $ и $ y(t) $. Длина лестницы $ L $ остаётся постоянной. Чтобы найти связь между скоростями концов лестницы, продифференцируем это уравнение по времени $ t $: $ \frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(L^2) $

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 $

Здесь $ \frac{dx}{dt} $ — это скорость нижнего конца лестницы (обозначим её $ v_x $), а $ \frac{dy}{dt} $ — это проекция скорости верхнего конца лестницы на ось $Oy$ (обозначим её $ v_y $). Подставив эти обозначения, получим: $ x v_x + y v_y = 0 $

Выразим отсюда $ v_y $: $ v_y = - \frac{x}{y} v_x $

Отрицательный знак указывает на то, что при увеличении координаты $ x $ (нижний конец скользит от стены), координата $ y $ уменьшается (верхний конец скользит вниз по стене).

Координаты $ x $ и $ y $ можно выразить через длину лестницы $ L $ и угол наклона $ \alpha $: $ x = L \cos(\alpha) $
$ y = L \sin(\alpha) $

Тогда отношение $ \frac{x}{y} $ равно: $ \frac{x}{y} = \frac{L \cos(\alpha)}{L \sin(\alpha)} = \cot(\alpha) $

Подставим это выражение в формулу для скорости $ v_y $: $ v_y = - v_x \cot(\alpha) $

В задаче требуется найти скорость, то есть модуль вектора скорости. Найдём её, подставив известные значения: $ |v_y| = | - v_x \cot(\alpha) | = v_x \cot(\alpha) $ $ |v_y| = 2 \text{ м/с} \cdot \cot(30^\circ) $

Так как $ \cot(30^\circ) = \sqrt{3} $, получаем: $ |v_y| = 2 \sqrt{3} \text{ м/с} \approx 3.46 \text{ м/с} $

Ответ: скорость верхнего конца лестницы в этот момент времени равна $ 2\sqrt{3} \text{ м/с} $, что приблизительно составляет $ 3.46 \text{ м/с} $.