Номер 120, страница 20, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдых тел - номер 120, страница 20.

Условие.

120. [111] На катушку, поставленную на стол вертикально (рис. 18, вид сверху), намотаны две нити. Определите угловую скорость вращения катушки и скорость её центра $\text{O}$, если нити разматывают со скоростями $v_1$ и $v_2$, при этом $v_1 = 2v_2$. Радиус катушки $\text{R}$.

Рис. 18

Решение.

Дано:

Скорость разматывания верхней нити: $v_1$

Скорость разматывания нижней нити: $v_2$

Радиус катушки: $\text{R}$

Соотношение скоростей: $v_1 = 2v_2$

Найти:

Угловую скорость вращения катушки: $\omega$

Скорость центра катушки: $v_O$

Решение:

Движение катушки можно рассматривать как суперпозицию (сложение) двух движений: поступательного движения центра масс со скоростью $\vec{v}_O$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Скорость любой точки на ободе катушки равна векторной сумме скорости центра $\vec{v}_O$ и линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$, модуль которой равен $\omega R$.

Направим ось Ox вправо, по направлению вектора скорости $\vec{v}_1$. Предположим, что центр катушки движется вправо (проекция $v_O$ на ось Ox положительна), а катушка вращается по часовой стрелке (тогда линейная скорость верхней точки от вращения направлена вправо, а нижней — влево).

Скорость нити в точке отрыва равна скорости самой точки на катушке. Таким образом, для верхней точки катушки, где поступательная и вращательная скорости складываются, имеем:

$v_1 = v_°+ \omega R \quad (1)$

Для нижней точки катушки, где поступательная и вращательная скорости вычитаются, имеем (учитывая, что вектор $\vec{v}_2$ направлен влево, его проекция на ось Ox равна $-v_2$):

$-v_2 = v_°- \omega R \quad (2)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Используя заданное условие $v_1 = 2v_2$, подставим его в первое уравнение:

$ \begin{cases} 2v_2 = v_°+ \omega R \\ -v_2 = v_°- \omega R \end{cases} $

Теперь решим эту систему для нахождения искомых величин.

Угловая скорость вращения катушки

Чтобы найти угловую скорость $\omega$, вычтем из первого уравнения системы второе:

$2v_2 - (-v_2) = (v_°+ \omega R) - (v_°- \omega R)$

$3v_2 = v_°+ \omega R - v_°+ \omega R$

$3v_2 = 2\omega R$

Отсюда выражаем угловую скорость:

$\omega = \frac{3v_2}{2R}$

Так как результат получился положительным, наше предположение о направлении вращения по часовой стрелке было верным.

Ответ: угловая скорость вращения катушки равна $\omega = \frac{3v_2}{2R}$ (или, выражая через $v_1$, $\omega = \frac{3v_1}{4R}$).

Скорость ее центра O

Чтобы найти скорость центра катушки $v_O$, сложим два уравнения системы:

$2v_2 + (-v_2) = (v_°+ \omega R) + (v_°- \omega R)$

$v_2 = 2v_O$

Отсюда выражаем скорость центра:

$v_°= \frac{v_2}{2}$

Так как результат получился положительным, наше предположение о направлении движения центра вправо было верным.

Ответ: скорость центра катушки равна $v_°= \frac{v_2}{2}$ (или, выражая через $v_1$, $v_°= \frac{v_1}{4}$).