Номер 118, страница 19, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение твёрдых тел - номер 118, страница 19.

Условие.

118. [109] Катушку тянут за нить (рис. 17). Радиус катушки $R_1 = 10$ см, радиус барабана $R_2 = 5$ см, скорость нити относительно земли $v = 1,5$ м/с. Определите скорости центра катушки и точки $\text{A}$ относительно земли.

Рис. 17

Решение.

Дано:

$R_1 = 10$ см

$R_2 = 5$ см

$v = 1,5$ м/с

$R_1 = 0,1$ м

$R_2 = 0,05$ м

Найти:

$v_O$ - ?

$v_A$ - ?

Решение:

Движение катушки можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс $v_O$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Поскольку катушка катится по поверхности без проскальзывания, скорость точки катушки, которая соприкасается с землей, равна нулю. Скорость этой нижней точки (точки C) является векторной суммой скорости центра масс $v_O$ и линейной скорости вращения $v_{вр} = \omega R_1$, которая направлена в противоположную сторону.

$v_C = v_°- \omega R_1 = 0$

Из этого условия получаем связь между поступательной и угловой скоростями:

$v_°= \omega R_1$ (1)

Скорость нити $\text{v}$ равна скорости точки на барабане, с которой сходит нить. Эта точка находится на вершине внутреннего барабана на расстоянии $R_2$ от центра. Ее скорость относительно земли складывается из скорости центра масс $v_O$ и линейной скорости вращения $\omega R_2$. Оба вектора скорости направлены в одну сторону (вправо по рисунку).

$v = v_°+ \omega R_2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($v_O$ и $\omega$). Выразим $\omega$ из уравнения (1):

$\omega = \frac{v_O}{R_1}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$v = v_°+ (\frac{v_O}{R_1}) R_2 = v_°(1 + \frac{R_2}{R_1}) = v_°\frac{R_1 + R_2}{R_1}$

Теперь выразим скорость центра катушки $v_O$:

$v_°= v \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_°= 1,5 \frac{0,1}{0,1 + 0,05} = 1,5 \frac{0,1}{0,15} = 1,5 \cdot \frac{10}{15} = 1,5 \cdot \frac{2}{3} = 1$ м/с.

Теперь определим скорость точки A, которая является самой верхней точкой катушки. Ее скорость относительно земли также является суммой скорости центра масс $v_O$ и линейной скорости вращения $\omega R_1$. Оба вектора направлены в одну сторону.

$v_A = v_°+ \omega R_1$

Используя соотношение (1), $v_°= \omega R_1$, получаем:

$v_A = v_°+ v_°= 2v_O$

Подставим найденное значение $v_O$:

$v_A = 2 \cdot 1 = 2$ м/с.

Ответ: скорость центра катушки $v_°= 1$ м/с, скорость точки A $v_A = 2$ м/с.