Номер 111, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Равномерное движение точки по окружности - номер 111, страница 18.

Условие.

111. [102] Угол $\alpha$ между скоростью и ускорением, с которыми движется материальная точка по окружности, остаётся постоянным и равным $\frac{\pi}{2}$. Как движется точка? Что можно будет сказать о движении точки, если угол $\alpha$ увеличится?

Решение.

Дано:

Материальная точка движется по окружности. Угол `$\alpha$` между вектором скорости `$\vec{v}$` и вектором полного ускорения `$\vec{a}$`.

Случай 1: `$\alpha = \frac{\pi}{2}$` (постоянный)

Случай 2: `$\alpha$` увеличился, то есть `$\alpha > \frac{\pi}{2}$`

Найти:

1. Характер движения точки в Случае 1.

2. Характер движения точки в Случае 2.

Решение:

При движении по криволинейной траектории, в том числе по окружности, полное ускорение `$\vec{a}$` точки можно представить как векторную сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих: тангенциального (касательного) ускорения `$\vec{a}_{\tau}$` и нормального (центростремительного) ускорения `$\vec{a}_{n}$`.

`$\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n}$`

Тангенциальное ускорение `$\vec{a}_{\tau}$` направлено по касательной к траектории. Оно сонаправлено с вектором скорости `$\vec{v}$`, если скорость возрастает, и противонаправлено, если скорость убывает. Эта составляющая отвечает за изменение модуля скорости: `$a_{\tau} = \frac{d|\vec{v}|}{dt}$`.

Нормальное ускорение `$\vec{a}_{n}$` всегда направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории (для окружности — к ее центру). Оно отвечает за изменение направления вектора скорости: `$a_{n} = \frac{v^2}{R}$`, где `$\text{v}$` – модуль скорости, а `$\text{R}$` – радиус окружности.

Как движется точка?

В первом случае по условию угол `$\alpha$` между вектором скорости `$\vec{v}$` и вектором полного ускорения `$\vec{a}$` равен `$\frac{\pi}{2}$` (90°). Это значит, что вектор полного ускорения перпендикулярен вектору скорости.
Так как `$\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n}$`, где `$\vec{a}_{\tau}$` коллинеарно `$\vec{v}$`, а `$\vec{a}_{n}$` перпендикулярно `$\vec{v}$`, то для того чтобы их сумма `$\vec{a}$` была перпендикулярна `$\vec{v}$`, необходимо, чтобы тангенциальная составляющая `$\vec{a}_{\tau}$` была равна нулю.
Если `$a_{\tau} = 0$`, то `$\frac{d|\vec{v}|}{dt} = 0$`, что означает, что модуль скорости точки не изменяется, то есть `$|\vec{v}| = \text{const}$`.
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью называется равномерным движением по окружности.
Ответ: Точка движется по окружности равномерно (с постоянной по модулю скоростью).

Что можно будет сказать о движении точки, если угол α увеличится?

Если угол `$\alpha$` увеличится, то он станет больше `$\frac{\pi}{2}$`, то есть станет тупым (`$\frac{\pi}{2} < \alpha \le \pi$`).
Угол между векторами полного ускорения `$\vec{a}$` и скорости `$\vec{v}$` может быть тупым только в том случае, если тангенциальная составляющая ускорения `$\vec{a}_{\tau}$` направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости `$\vec{v}$`.
Поскольку вектор `$\vec{a}_{\tau}$` характеризует изменение модуля скорости, его направленность против вектора скорости означает, что модуль скорости точки уменьшается (`$\frac{d|\vec{v}|}{dt} < 0$`).
Следовательно, движение точки по окружности является замедленным.
Ответ: Точка будет двигаться по окружности замедленно, то есть модуль ее скорости будет уменьшаться.