Номер 105, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 105, страница 17.

Условие.

105. [96 ]Мальчик бросает мяч под углом $45^\circ$ к горизонту в вертикальную стенку, расположенную от него на расстоянии 6 м. Перед броском мяч находится в руках у мальчика на высоте 1,5 м. Определите начальную скорость мяча, если, ударившись о стенку и отскочив от неё, он упал к ногам мальчика. Удар считайте абсолютно упругим.

Решение.

Дано:

Угол броска, $\alpha = 45^\circ$

Расстояние до стенки, $L = 6$ м

Начальная высота, $h_0 = 1,5$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Начальную скорость мяча, $v_0$

Решение:

Введем систему координат. Начало координат (0,0) расположим у ног мальчика. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону стенки, а ось $OY$ — вертикально вверх. Тогда начальные координаты мяча будут $x(0) = 0$, $y(0) = h_0 = 1,5$ м.

Движение мяча можно разложить на две составляющие: равномерное движение по горизонтали и равноускоренное движение по вертикали. Запишем уравнения движения:

$x(t) = v_{0x} t$

$y(t) = h_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0x}$ и $v_{0y}$ — проекции начальной скорости на оси $OX$ и $OY$ соответственно:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, то $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Движение до стенки.

Мяч достигает стенки, когда его координата $\text{x}$ становится равной $\text{L}$. Пусть время полета до стенки равно $t_1$.

$L = v_{0x} t_1 = (v_0 \cos\alpha) t_1$

Отсюда время полета до стенки:

$t_1 = \frac{L}{v_0 \cos\alpha}$

2. Отскок от стенки и движение обратно.

Удар о стенку абсолютно упругий. Это означает, что вертикальная составляющая скорости мяча не изменяется, а горизонтальная изменяет свое направление на противоположное, сохраняя модуль.

После отскока мяч летит обратно к мальчику. Горизонтальная составляющая скорости становится равной $-v_{0x}$. Мячу нужно преодолеть то же расстояние $\text{L}$ по горизонтали, чтобы вернуться к ногам мальчика (в точку с координатой $x=0$). Время обратного полета $t_2$ можно найти из условия:

$L = |-v_{0x}| t_2 = (v_0 \cos\alpha) t_2$

Отсюда время обратного полета:

$t_2 = \frac{L}{v_0 \cos\alpha}$

Таким образом, $t_1 = t_2$.

3. Полное время полета.

Общее время полета мяча $\text{T}$ от момента броска до падения к ногам мальчика равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$T = t_1 + t_2 = 2t_1 = \frac{2L}{v_0 \cos\alpha}$

4. Нахождение начальной скорости.

В момент падения на землю (к ногам мальчика) вертикальная координата мяча $y(T)$ равна нулю. Подставим полное время полета $\text{T}$ в уравнение для вертикальной координаты:

$y(T) = h_0 + v_{0y} T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$h_0 + (v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $\text{T}$:

$h_0 + (v_0 \sin\alpha) \left(\frac{2L}{v_0 \cos\alpha}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{2L}{v_0 \cos\alpha}\right)^2 = 0$

Упростим выражение:

$h_0 + 2L \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{g}{2} \frac{4L^2}{v_0^2 \cos^2\alpha} = 0$

$h_0 + 2L \tan\alpha - \frac{2gL^2}{v_0^2 \cos^2\alpha} = 0$

Учитывая, что $\alpha = 45^\circ$, $\tan 45^\circ = 1$ и $\cos^2 45^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$:

$h_0 + 2L(1) - \frac{2gL^2}{v_0^2 (1/2)} = 0$

$h_0 + 2L - \frac{4gL^2}{v_0^2} = 0$

Выразим $v_0^2$:

$\frac{4gL^2}{v_0^2} = h_0 + 2L$

$v_0^2 = \frac{4gL^2}{h_0 + 2L}$

Найдем $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{4gL^2}{h_0 + 2L}} = 2L \sqrt{\frac{g}{h_0 + 2L}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{1,5 + 2 \cdot 6}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{1,5 + 12}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{13,5}} \approx 12 \cdot \sqrt{0,7259} \approx 12 \cdot 0,852 \approx 10,224$ м/с.

Ответ: начальная скорость мяча равна примерно 10,2 м/с.