Номер 102, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 102, страница 17.

Условие.

102. [93] Камень брошен с башни высотой 10 м под углом 30° к горизонту со скоростью 8 м/с. Определите дальность полёта камня, конечную скорость, а также среднюю скорость перемещения.

Решение.

Дано:

$h = 10 \text{ м}$

$v_0 = 8 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$\text{L}$ – дальность полета

$\text{v}$ – конечная скорость

$v_{ср}$ – средняя скорость перемещения

Решение:

Выберем систему координат: начало отсчета (0;0) на поверхности земли под точкой броска, ось OX направлена горизонтально, а ось OY – вертикально вверх. Тогда начальные координаты камня: $x_0 = 0, y_0 = h = 10 \text{ м}$.

Разложим начальную скорость на компоненты:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 0.5 = 4 \text{ м/с}$

Уравнения движения камня будут иметь вид:

$x(t) = v_{0x} \cdot t$

$y(t) = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

дальность полета камня

Сначала найдем полное время полета камня $t_{п}$. Полет закончится, когда камень упадет на землю, то есть когда его координата $\text{y}$ станет равной нулю: $y(t_{п}) = 0$.

Подставим известные значения в уравнение для $y(t)$:

$0 = 10 + 4t_{п} - \frac{9.8}{2}t_{п}^2$

$4.9t_{п}^2 - 4t_{п} - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t_{п}$:

$t_{п} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-10)}}{2 \cdot 4.9} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 196}}{9.8} = \frac{4 \pm \sqrt{212}}{9.8}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком «+»:

$t_{п} = \frac{4 + \sqrt{212}}{9.8} \approx \frac{4 + 14.56}{9.8} \approx 1.89 \text{ с}$

Дальность полета $\text{L}$ — это расстояние, которое камень пролетел по горизонтали за время $t_{п}$.

$L = x(t_{п}) = v_{0x} \cdot t_{п} = 4\sqrt{3} \cdot 1.89 \approx 6.93 \cdot 1.89 \approx 13.1 \text{ м}$

Ответ: дальность полета камня составляет примерно $13.1 \text{ м}$.

конечную скорость

Конечная скорость $\text{v}$ — это векторная сумма ее горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) компонент в момент падения на землю ($t = t_{п}$).

Горизонтальная компонента скорости остается неизменной на протяжении всего полета: $v_x = v_{0x} \approx 6.93 \text{ м/с}$.

Вертикальная компонента скорости в момент времени $t_{п}$:

$v_y = v_{0y} - gt_{п} = 4 - 9.8 \cdot 1.89 = 4 - 18.522 = -14.522 \text{ м/с}$

(Знак «минус» показывает, что вектор скорости направлен вниз).

Модуль конечной скорости найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(6.93)^2 + (-14.522)^2} \approx \sqrt{48.02 + 210.89} = \sqrt{258.91} \approx 16.1 \text{ м/с}$

Ответ: конечная скорость камня в момент падения составляет примерно $16.1 \text{ м/с}$.

среднюю скорость перемещения

Средняя скорость перемещения $v_{ср}$ — это отношение модуля вектора перемещения $\text{s}$ ко времени, за которое это перемещение произошло, то есть ко времени полета $t_{п}$.

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из начальной точки $(x_0, y_0) = (0, 10)$ в конечную точку $(x_f, y_f) = (L, 0) \approx (13.1, 0)$.

Модуль вектора перемещения найдем по теореме Пифагора:

$s = |\vec{s}| = \sqrt{(x_f - x_0)^2 + (y_f - y_0)^2} = \sqrt{(13.1 - 0)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{13.1^2 + (-10)^2} \approx \sqrt{171.61 + 100} = \sqrt{271.61} \approx 16.48 \text{ м}$

Теперь найдем среднюю скорость перемещения:

$v_{ср} = \frac{s}{t_{п}} = \frac{16.48 \text{ м}}{1.89 \text{ с}} \approx 8.72 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость перемещения камня составляет примерно $8.72 \text{ м/с}$.