Номер 109, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 109, страница 18.

Условие.

109. [100] На вершину наклонной плоскости, угол которой у основания равен 45°, с высоты 5 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 50 м. Определите, сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с неё. Удары мяча о плоскость абсолютно упругие.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости $\alpha = 45^\circ$
Высота падения мяча $h = 5$ м
Длина наклонной плоскости $L = 50$ м
Удары абсолютно упругие.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Количество ударов мяча о наклонную плоскость $\text{N}$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $Ox$ направим вдоль плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх. Начало координат $(0,0)$ поместим в точку первого удара мяча о плоскость (на ее вершине).

В этой системе координат ускорение свободного падения $\text{g}$ имеет две составляющие:
- вдоль оси $Ox$: $g_x = g \sin\alpha$
- вдоль оси $Oy$: $g_y = -g \cos\alpha$

Мяч падает с высоты $\text{h}$ без начальной скорости. По закону сохранения энергии его скорость $v_0$ непосредственно перед первым ударом равна:
$v_0 = \sqrt{2gh}$
Вектор этой скорости направлен вертикально вниз. Найдем его проекции на наши оси $Ox$ и $Oy$ перед ударом:
$v_{0x} = v_0 \cos(90^\circ - \alpha) = v_0 \sin\alpha$
$v_{0y} = -v_0 \cos\alpha$

Поскольку удар абсолютно упругий, компонента скорости, параллельная плоскости, не изменяется, а компонента, перпендикулярная плоскости, меняет знак на противоположный. Скорость мяча сразу после первого удара:
$v_{1x} = v_{0x} = v_0 \sin\alpha$
$v_{1y} = -v_{0y} = v_0 \cos\alpha$

Рассмотрим движение мяча между ударами. Это движение тела, брошенного под углом к горизонту, в поле тяжести с ускорением $(g_x, g_y)$.
Время полета $T_n$ между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударом определяется движением по оси $Oy$:
$y(t) = v_{ny} t + \frac{g_y t^2}{2} = 0 \implies t(v_{ny} + \frac{g_y t}{2}) = 0$
$T_n = -\frac{2v_{ny}}{g_y} = \frac{2v_{ny}}{g \cos\alpha}$
где $v_{ny}$ — начальная скорость по оси $Oy$ после $\text{n}$-го удара.

Покажем, что $v_{ny}$ одинакова для всех ударов. Скорость по оси $Oy$ перед $(n+1)$-м ударом:
$v'_{n+1,y} = v_{ny} + g_y T_n = v_{ny} - g \cos\alpha \cdot \frac{2v_{ny}}{g \cos\alpha} = -v_{ny}$
После упругого удара: $v_{n+1,y} = -v'_{n+1,y} = v_{ny}$. Так как $v_{1y} = v_0 \cos\alpha$, то $v_{ny} = v_0 \cos\alpha$ для любого $\text{n}$.
Следовательно, время полета между любыми двумя последовательными ударами одинаково и равно:
$T = \frac{2(v_0 \cos\alpha)}{g \cos\alpha} = \frac{2v_0}{g}$

Теперь найдем дальность полета $l_n$ вдоль оси $Ox$ между $\text{n}$-м и $(n+1)$-м ударами. Скорость по оси $Ox$ после $\text{n}$-го удара $v_{nx}$ является членом арифметической прогрессии:
$v_{nx} = v_{1x} + (n-1)g_x T = v_0 \sin\alpha + (n-1)g \sin\alpha T$
Тогда дальность $l_n$ равна:
$l_n = v_{nx} T + \frac{g_x T^2}{2} = (v_0 \sin\alpha + (n-1)g \sin\alpha T)T + \frac{g \sin\alpha T^2}{2} = v_0 \sin\alpha T + (n - \frac{1}{2})g \sin\alpha T^2$

Длины прыжков $l_1, l_2, \dots$ образуют арифметическую прогрессию с первым членом $l_1$ и разностью $\text{d}$:
$l_1 = v_0 \sin\alpha T + \frac{1}{2}g \sin\alpha T^2$
$d = l_{n+1} - l_n = g \sin\alpha T^2$
Найдем соотношение между $l_1$ и $\text{d}$. Так как $T = \frac{2v_0}{g}$, то $v_0 = \frac{gT}{2}$.
$v_0 \sin\alpha T = \frac{gT}{2} \sin\alpha T = \frac{1}{2} g \sin\alpha T^2$.
Следовательно, $l_1 = \frac{1}{2} d + \frac{1}{2}d = d$.
Таким образом, $l_n = l_1 + (n-1)d = d + (n-1)d = nd$.

Вычислим значение $\text{d}$:
$d = g \sin\alpha T^2 = g \sin\alpha (\frac{2v_0}{g})^2 = g \sin\alpha \frac{4v_0^2}{g^2} = \frac{4\sin\alpha}{g} (2gh) = 8h \sin\alpha$
Подставим числовые значения:
$d = 8 \cdot 5 \cdot \sin(45^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \approx 28.28$ м.

Мяч совершит $\text{N}$ ударов, если точка $\text{N}$-го удара будет находиться на наклонной плоскости. Координата $X_N$ точки $\text{N}$-го удара равна сумме длин первых $N-1$ прыжков:
$X_N = \sum_{i=1}^{N-1} l_i = \sum_{i=1}^{N-1} id = d \sum_{i=1}^{N-1} i = d \frac{(N-1)N}{2}$
Условие, что $\text{N}$-й удар произойдет на плоскости: $X_N \le L$.
$d \frac{N(N-1)}{2} \le L \implies N(N-1) \le \frac{2L}{d}$
Подставим значения:
$N(N-1) \le \frac{2 \cdot 50}{20\sqrt{2}} = \frac{100}{20\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3.54$

Найдем максимальное целое число $\text{N}$, удовлетворяющее этому неравенству:
- при $N=1$: $1(0) = 0 \le 3.54$ (первый удар в начале плоскости)
- при $N=2$: $2(1) = 2 \le 3.54$ (второй удар произойдет на плоскости)
- при $N=3$: $3(2) = 6 > 3.54$ (третий удар произошел бы за пределами плоскости)

Следовательно, максимальное число ударов, которое мяч успеет совершить, равно 2.

Ответ: 2 раза.