Номер 110, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Равномерное движение точки по окружности - номер 110, страница 18.

Условие.

110. [101] Материальная точка равномерно движется по кривой (рис. 14). Определите отношение радиусов кривизны траектории в точках A и B, если известно, что отношение центростремительных ускорений в этих точках равно $\frac{1}{4}$.

Рис. 14

Решение.

Дано:

Движение материальной точки равномерное, следовательно, модуль скорости $\text{v}$ постоянен: $v_A = v_B = v$.

Отношение центростремительных ускорений в точках A и B: $\frac{a_{cA}}{a_{cB}} = \frac{1}{4}$.

Найти:

Отношение радиусов кривизны траектории в точках A и B: $\frac{R_A}{R_B}$.

Решение:

Центростремительное (или нормальное) ускорение материальной точки при движении по криволинейной траектории определяется формулой:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ — модуль мгновенной скорости точки, а $\text{R}$ — радиус кривизны траектории в данной точке.

Запишем выражения для центростремительных ускорений в точках A и B, обозначив радиусы кривизны в этих точках как $R_A$ и $R_B$ соответственно:

$a_{cA} = \frac{v_A^2}{R_A}$

$a_{cB} = \frac{v_B^2}{R_B}$

По условию задачи, движение точки равномерное, что означает постоянство модуля ее скорости на всей траектории. Таким образом, $v_A = v_B = v$.

Теперь составим отношение центростремительных ускорений, используя записанные выше формулы:

$\frac{a_{cA}}{a_{cB}} = \frac{v_A^2 / R_A}{v_B^2 / R_B}$

Так как $v_A = v_B$, скорости в числителе и знаменателе сокращаются:

$\frac{a_{cA}}{a_{cB}} = \frac{v^2 / R_A}{v^2 / R_B} = \frac{1/R_A}{1/R_B} = \frac{R_B}{R_A}$

Мы получили соотношение, связывающее отношение ускорений с отношением радиусов кривизны: $\frac{R_B}{R_A} = \frac{a_{cA}}{a_{cB}}$.

Подставим известное из условия значение отношения ускорений $\frac{a_{cA}}{a_{cB}} = \frac{1}{4}$:

$\frac{R_B}{R_A} = \frac{1}{4}$

В задаче требуется найти отношение $\frac{R_A}{R_B}$. Для этого выразим его из полученного равенства, "перевернув" дробь:

$\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{1/4} = 4$

Ответ: $\frac{R_A}{R_B} = 4$.