Номер 107, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 107, страница 18.

Условие.

107. [98] Камень, брошенный под углом $60^{\circ}$ к горизонту, побывал на высоте 1 м дважды с интервалом 1 с. Определите начальную скорость камня и дальность его полёта.

Решение.

Дано:

Угол броска к горизонту, $\alpha = 60^\circ$

Высота, на которой камень был дважды, $h = 1$ м

Интервал времени между этими событиями, $\Delta t = 1$ с

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Начальную скорость камня $v_0$

Дальность полета камня $\text{L}$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена горизонтально, а ось OY – вертикально вверх. Начало координат находится в точке броска.

Уравнение движения по вертикали имеет вид: $y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ — начальная проекция скорости на ось OY.

По условию, камень находился на высоте $h = 1$ м в два момента времени, $t_1$ и $t_2$, причем $t_2 - t_1 = \Delta t = 1$ с. Из-за симметрии параболической траектории, время, за которое камень поднимается от высоты $\text{h}$ до максимальной высоты, равно времени спуска с максимальной высоты обратно до высоты $\text{h}$. Это время составляет половину интервала $\Delta t$.

Время подъема от высоты $\text{h}$ до максимальной высоты: $t_{подъема, h} = \frac{\Delta t}{2} = \frac{1 \text{ с}}{2} = 0.5$ с.

В точке максимального подъема вертикальная скорость равна нулю. Пусть $v_{yh}$ — это модуль вертикальной скорости камня на высоте $\text{h}$. Используя формулу скорости для равноускоренного движения $v = v_{начальная} + at$, для участка подъема от высоты $\text{h}$ до пика траектории получим:

$0 = v_{yh} - g \cdot t_{подъема, h}$

Отсюда можем найти вертикальную скорость на высоте $\text{h}$:

$v_{yh} = g \frac{\Delta t}{2} = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.5 \text{ с} = 5$ м/с.

Теперь воспользуемся формулой, связывающей скорость, начальную скорость и перемещение без времени: $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gy$. Применительно к нашему случаю, на высоте $\text{h}$ скорость равна $v_{yh}$:

$v_{yh}^2 = v_{0y}^2 - 2gh$

Выразим отсюда квадрат начальной вертикальной скорости:

$v_{0y}^2 = v_{yh}^2 + 2gh = (5 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 25 + 20 = 45$ (м/с)².

Начальная вертикальная скорость равна:

$v_{0y} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ м/с.

Зная $v_{0y}$ и угол $\alpha$, найдем полную начальную скорость $v_0$:

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \implies v_0 = \frac{v_{0y}}{\sin(\alpha)} = \frac{3\sqrt{5}}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}/2} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{15}$ м/с.

Далее найдем дальность полета $\text{L}$. Дальность полета определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Мы уже нашли $v_0^2$. Начальная скорость в квадрате: $v_0^2 = (2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$ (м/с)².

Подставим значения в формулу для дальности полета:

$L = \frac{60 \cdot \sin(2 \cdot 60^\circ)}{10} = 6 \cdot \sin(120^\circ)$

Поскольку $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$L = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ м.

Вычислим приближенные значения:

$v_0 = 2\sqrt{15} \approx 7.75$ м/с.

$L = 3\sqrt{3} \approx 5.20$ м.

Ответ: начальная скорость камня $v_0 = 2\sqrt{15}$ м/с (приблизительно 7.75 м/с), дальность его полета $L = 3\sqrt{3}$ м (приблизительно 5.20 м).