Номер 108, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 108, страница 18.

Условие.

108. [99] Склон горы образует с горизонтом угол $15^\circ$. У подножия горы стоит орудие. Под каким углом к горизонту должен вылететь снаряд, чтобы дальность его полёта вдоль склона была максимальной?

Решение.

Дано:

Угол наклона склона горы к горизонту $\alpha = 15^\circ$.

Найти:

Угол $\theta$, под которым нужно выпустить снаряд к горизонту для достижения максимальной дальности $\text{L}$ вдоль склона.

Решение:

Введем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена горизонтально, а ось $Oy$ — вертикально. Начало координат $(0,0)$ находится в точке вылета снаряда у подножия горы.

Запишем уравнения движения снаряда, выпущенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\theta$ к горизонту, пренебрегая сопротивлением воздуха:

$x(t) = (v_0 \cos \theta) t$

$y(t) = (v_0 \sin \theta) t - \frac{gt^2}{2}$

Уравнение прямой, описывающей склон горы, имеет вид:

$y = x \tan \alpha$

Снаряд упадет на склон в момент времени $\text{T}$, когда его координаты $(x(T), y(T))$ будут удовлетворять уравнению склона:

$y(T) = x(T) \tan \alpha$

Подставим выражения для $x(t)$ и $y(t)$ в это уравнение:

$(v_0 \sin \theta) T - \frac{gT^2}{2} = (v_0 T \cos \theta) \tan \alpha$

Поскольку нас интересует момент времени $T > 0$, можно разделить обе части уравнения на $\text{T}$:

$v_0 \sin \theta - \frac{gT}{2} = v_0 \cos \theta \tan \alpha$

Выразим отсюда время полета $\text{T}$:

$\frac{gT}{2} = v_0 \sin \theta - v_0 \cos \theta \tan \alpha = v_0 (\sin \theta - \cos \theta \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$

$T = \frac{2v_0}{g} \frac{\sin \theta \cos \alpha - \cos \theta \sin \alpha}{\cos \alpha}$

Используя тригонометрическую формулу для синуса разности углов $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:

$T = \frac{2v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos \alpha}$

Дальность полета $\text{L}$ вдоль склона — это расстояние от начала координат до точки падения $(x(T), y(T))$. Её можно найти через горизонтальную координату $x(T)$:

$L = \frac{x(T)}{\cos \alpha} = \frac{(v_0 \cos \theta) T}{\cos \alpha}$

Подставим найденное выражение для $\text{T}$:

$L(\theta) = \frac{v_0 \cos \theta}{\cos \alpha} \cdot \frac{2v_0 \sin(\theta - \alpha)}{g \cos \alpha} = \frac{2v_0^2}{g \cos^2 \alpha} \cos \theta \sin(\theta - \alpha)$

Для нахождения максимальной дальности $\text{L}$ при заданной начальной скорости $v_0$ и угле склона $\alpha$, необходимо найти максимум функции $f(\theta) = \cos \theta \sin(\theta - \alpha)$ по углу $\theta$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

$f(\theta) = \sin(\theta - \alpha) \cos \theta = \frac{1}{2}(\sin((\theta - \alpha) + \theta) + \sin((\theta - \alpha) - \theta)) = \frac{1}{2}(\sin(2\theta - \alpha) + \sin(-\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(2\theta - \alpha) - \sin \alpha)$

Чтобы функция $f(\theta)$ (а следовательно, и дальность $\text{L}$) была максимальной, значение $\sin(2\theta - \alpha)$ должно быть максимальным. Максимальное значение синуса равно 1.

$\sin(2\theta - \alpha) = 1$

Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\theta - \alpha = 90^\circ$

$2\theta = 90^\circ + \alpha$

$\theta = \frac{90^\circ + \alpha}{2} = 45^\circ + \frac{\alpha}{2}$

Данная формула определяет оптимальный угол броска для максимальной дальности по наклонной плоскости.

Подставим в эту формулу заданное значение угла наклона склона $\alpha = 15^\circ$:

$\theta = 45^\circ + \frac{15^\circ}{2} = 45^\circ + 7.5^\circ = 52.5^\circ$

Ответ:

Чтобы дальность полета снаряда вдоль склона была максимальной, он должен вылететь под углом $52.5^\circ$ к горизонту.