Номер 106, страница 18, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 106, страница 18.

Условие.

106. [97] Теннисный мяч, поданный под углом $60^\circ$ к горизонту со скоростью $15 \, \text{м/с}$, ударяется о горизонтальную площадку и отскакивает от неё. На какой высоте находится площадка, если дальность полёта мяча увеличивается в 1,8 раза? Удар считайте абсолютно упругим.

Решение.

Дано:

$\alpha = 60°$
$v_0 = 15 \text{ м/с}$
$L_{общ} = 1.8 \cdot L_0$
$g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Движение теннисного мяча является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Координаты мяча изменяются со временем по законам:

$x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

$y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Сначала определим дальность полета $L_0$ и время полета $T_0$ мяча, если бы он летел без препятствий и приземлился на той же высоте, с которой был подан. Время полета находится из условия $y(T_0)=0$:

$v_0 \sin(\alpha) \cdot T_0 - \frac{gT_0^2}{2} = 0$

$T_0 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Дальность полета $L_0$ — это горизонтальное расстояние, пройденное за время $T_0$:

$L_0 = v_0 \cos(\alpha) \cdot T_0$

В задаче мяч ударяется о площадку, и его общая дальность полета $L_{общ}$ в 1.8 раза больше $L_0$. Поскольку горизонтальная составляющая скорости $v_x = v_0 \cos(\alpha)$ остается постоянной на протяжении всего полета (удар о горизонтальную площадку ее не меняет), то общее время полета $T_{общ}$ связано с общей дальностью $L_{общ}$ тем же соотношением:

$L_{общ} = v_0 \cos(\alpha) \cdot T_{общ}$

Из условия $L_{общ} = 1.8 \cdot L_0$ следует:

$v_0 \cos(\alpha) \cdot T_{общ} = 1.8 \cdot (v_0 \cos(\alpha) \cdot T_0)$

$T_{общ} = 1.8 \cdot T_0 = 1.8 \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Общее время полета складывается из времени полета до удара о площадку $t_1$ и времени полета после отскока до приземления $t_2$. Будем считать, что мяч ударяется о площадку на высоте $\text{h}$ на нисходящей части траектории. Время $t_1$ является большим корнем квадратного уравнения $y(t_1) = h$:

$h = v_0 \sin(\alpha) \cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} \implies \frac{g}{2}t_1^2 - v_0 \sin(\alpha) \cdot t_1 + h = 0$

$t_1 = \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh}}{g}$

Вертикальная скорость мяча непосредственно перед ударом: $v_{y1} = v_0 \sin(\alpha) - gt_1 = -\sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh}$. При абсолютно упругом ударе о горизонтальную поверхность вертикальная составляющая скорости меняет свой знак на противоположный, сохраняя модуль: $v_{y2} = -v_{y1} = \sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh}$.

Время полета $t_2$ после отскока с высоты $\text{h}$ с начальной вертикальной скоростью $v_{y2}$ до приземления ($y=0$) находится из уравнения:

$0 = h + v_{y2}t_2 - \frac{gt_2^2}{2} \implies \frac{g}{2}t_2^2 - v_{y2}t_2 - h = 0$

$t_2 = \frac{v_{y2} + \sqrt{v_{y2}^2 + 2gh}}{g} = \frac{\sqrt{(v_0 \sin\alpha)^2 - 2gh} + \sqrt{((v_0 \sin\alpha)^2 - 2gh) + 2gh}}{g} = \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh}}{g}$

Сравнивая выражения, видим, что $t_1 = t_2$. Тогда общее время полета $T_{общ} = t_1 + t_2 = 2t_1$.

Подставим это в соотношение для времени:

$2 \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh}}{g} = 1.8 \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Сократим общие множители:

$v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh} = 1.8 v_0 \sin(\alpha)$

$\sqrt{(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh} = 0.8 v_0 \sin(\alpha)$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(v_0 \sin(\alpha))^2 - 2gh = (0.8 v_0 \sin(\alpha))^2$

$v_0^2 \sin^2(\alpha) - 2gh = 0.64 v_0^2 \sin^2(\alpha)$

$2gh = v_0^2 \sin^2(\alpha) - 0.64 v_0^2 \sin^2(\alpha)$

$2gh = 0.36 v_0^2 \sin^2(\alpha)$

Отсюда выражаем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{0.36 v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{0.18 v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{0.18 \cdot (15 \text{ м/с})^2 \cdot (\sin 60°)^2}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{0.18 \cdot 225 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{9.8} = \frac{0.18 \cdot 225 \cdot 0.75}{9.8} = \frac{30.375}{9.8} \approx 3.1 \text{ м}$

Ответ: высота площадки составляет примерно 3,1 м.