Номер 100, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 100, страница 17.

Условие.

100. H Камень брошен со скоростью 8 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте его центростремительное ускорение будет равно тангенциальному?

Решение.

Дано:

$v_0 = 8$ м/с

$\alpha_0 = 60°$

$g \approx 9.8$ м/с²

В искомой точке: $a_c = a_t$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Единственная сила, действующая на камень в полете (пренебрегая сопротивлением воздуха), — это сила тяжести. Поэтому полное ускорение камня в любой точке траектории равно ускорению свободного падения $\vec{g}$, направленному вертикально вниз.

Это полное ускорение можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: тангенциальную ($\vec{a_t}$), направленную по касательной к траектории (вдоль вектора скорости $\vec{v}$), и центростремительную, или нормальную ($\vec{a_c}$), направленную перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории.

Пусть в искомый момент времени вектор скорости $\vec{v}$ составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Тогда вектор ускорения $\vec{g}$ составляет угол $(90° - \alpha)$ с касательной к траектории и угол $\alpha$ с нормалью к траектории. Модули тангенциального и центростремительного ускорений будут равны проекциям вектора $\vec{g}$ на эти направления:

$a_t = g \cdot |\sin(\alpha)|$

$a_c = g \cdot |\cos(\alpha)|$

По условию задачи их модули равны: $a_c = a_t$. Следовательно:

$g \cdot |\cos(\alpha)| = g \cdot |\sin(\alpha)|$

Разделив обе части на $g \cdot |\cos(\alpha)|$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$), получим:

$|\tan(\alpha)| = 1$

Это означает, что угол, который вектор скорости составляет с горизонтом, равен $45°$ (или $-45°$ при движении вниз). В этот момент модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости равны: $|v_y| = |v_x|$.

Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета:

$v_x = v_0 \cos(\alpha_0) = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ м/с.

Следовательно, в искомой точке модуль вертикальной составляющей скорости должен быть $|v_y| = 4$ м/с.

Начальная вертикальная составляющая скорости равна:

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha_0) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ м/с.

Связь между вертикальной скоростью и высотой подъема описывается формулой, не зависящей от времени:

$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gh$

Выразим отсюда высоту $\text{h}$:

$2gh = v_{0y}^2 - v_y^2$

$h = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{(4\sqrt{3})^2 - 4^2}{2g} = \frac{16 \cdot 3 - 16}{2g} = \frac{48 - 16}{2g} = \frac{32}{2g} = \frac{16}{g}$

Примем $g \approx 9.8$ м/с²:

$h = \frac{16}{9.8} \approx 1.63$ м.

Ответ: высота, на которой центростремительное ускорение камня будет равно тангенциальному, составляет примерно 1.63 м.