Номер 96, страница 17, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 96, страница 17.

Условие.

96. [88] Из одной точки с высоты 50 м бросили горизонтально два тела в противоположные стороны. Начальная скорость одного тела 10 м/с, другого в 2 раза меньше. Определите скорость одного тела относительно другого и расстояние между ними в момент падения.

Решение.

Дано:

$h = 50$ м

$v_{01} = 10$ м/с

$v_{02} = v_{01} / 2 = 5$ м/с

$g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v_{отн}$ — скорость одного тела относительно другого в момент падения.

$\text{L}$ — расстояние между телами в момент падения.

Решение:

Введем систему координат. Начало координат $(0, 0)$ расположим в точке броска. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону движения первого тела, а ось $OY$ — вертикально вниз.

Движение каждого тела можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали (свободное падение).

Скорость одного тела относительно другого

Скорость первого и второго тела в любой момент времени $\text{t}$ можно представить в виде векторов:

$\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y}) = (v_{01}, gt)$

Поскольку второе тело брошено в противоположную сторону, его начальная скорость по оси $OX$ будет отрицательной:

$\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y}) = (-v_{02}, gt)$

Скорость первого тела относительно второго ($v_{отн}$) находится как разность их векторов скоростей:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = (v_{01} - (-v_{02}), gt - gt) = (v_{01} + v_{02}, 0)$

Как видно из формулы, относительная скорость имеет только горизонтальную составляющую и не зависит от времени. Таким образом, она постоянна на протяжении всего полета, в том числе и в момент падения. Найдем ее модуль:

$v_{отн} = \sqrt{(v_{01} + v_{02})^2 + 0^2} = v_{01} + v_{02}$

Подставим числовые значения:

$v_{отн} = 10 \text{ м/с} + 5 \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: 15 м/с.

Расстояние между ними в момент падения

Сначала определим время полета тел до падения на землю. Так как начальная вертикальная скорость обоих тел равна нулю, а высота падения одинакова, время полета для них будет одним и тем же. Найдем его из уравнения движения по оси $OY$:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда время полета $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 50 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{100}{10}} = \sqrt{10}$ с.

За это время первое тело пролетит по горизонтали расстояние $s_1$, а второе — $s_2$:

$s_1 = v_{01}t$

$s_2 = v_{02}t$

Так как тела летели в противоположные стороны, расстояние $\text{L}$ между ними в момент падения будет равно сумме расстояний, которые они пролетели по горизонтали:

$L = s_1 + s_2 = v_{01}t + v_{02}t = (v_{01} + v_{02})t$

Подставим значения:

$L = (10 \text{ м/с} + 5 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{10} \text{ с} = 15\sqrt{10}$ м.

Вычислим приближенное значение:

$L \approx 15 \cdot 3.162 \approx 47.43$ м.

Ответ: $15\sqrt{10}$ м (приблизительно 47.4 м).