Номер 92, страница 16, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 92, страница 16.

Условие.

92. [84] С двух разных высот, равных соответственно $20 \text{ м}$ и $30 \text{ м}$, вертикально вниз одновременно бросают два мяча, причём начальная скорость первого мяча равна $5 \text{ м/с}$. С какой скоростью был брошен второй мяч, если они достигли земли одновременно?

Решение.

Дано:

Высота, с которой брошен первый мяч: $h_1 = 20$ м

Высота, с которой брошен второй мяч: $h_2 = 30$ м

Начальная скорость первого мяча: $v_{01} = 5$ м/с

Ускорение свободного падения (примем): $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Начальную скорость второго мяча: $v_{02}$

Решение:

Движение обоих мячей является равноускоренным. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, с началом отсчета в точке броска для каждого мяча. Тогда уравнение для пройденного пути $\text{h}$ имеет вид:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

По условию, мячи достигают земли одновременно, значит, время их полета одинаково: $t_1 = t_2 = t$.

1. Нахождение времени полета $\text{t}$.

Чтобы найти общее время полета $\text{t}$, используем данные для первого мяча:

$h_1 = v_{01} t + \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения:

$20 = 5t + \frac{10t^2}{2}$

$20 = 5t + 5t^2$

Разделим все члены уравнения на 5 и получим стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 4 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком "плюс":

$t = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ с.

2. Нахождение начальной скорости второго мяча $v_{02}$.

Теперь запишем уравнения движения для обоих мячей в виде системы:

$\begin{cases} h_1 = v_{01}t + \frac{gt^2}{2} \\ h_2 = v_{02}t + \frac{gt^2}{2} \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от члена с $t^2$:

$h_2 - h_1 = (v_{02}t + \frac{gt^2}{2}) - (v_{01}t + \frac{gt^2}{2})$

$h_2 - h_1 = v_{02}t - v_{01}t$

$h_2 - h_1 = (v_{02} - v_{01})t$

Выразим из этого соотношения искомую скорость $v_{02}$:

$v_{02} = v_{01} + \frac{h_2 - h_1}{t}$

Подставим числовые значения и найденное ранее точное выражение для времени $\text{t}$:

$v_{02} = 5 + \frac{30 - 20}{(\sqrt{17}-1)/2} = 5 + \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17}-1} = 5 + \frac{20}{\sqrt{17}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{17}+1)$:

$v_{02} = 5 + \frac{20(\sqrt{17}+1)}{(\sqrt{17}-1)(\sqrt{17}+1)} = 5 + \frac{20(\sqrt{17}+1)}{17-1} = 5 + \frac{20(\sqrt{17}+1)}{16} = 5 + \frac{5(\sqrt{17}+1)}{4}$

Приведем к общему знаменателю:

$v_{02} = \frac{20 + 5(\sqrt{17}+1)}{4} = \frac{20 + 5\sqrt{17} + 5}{4} = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{4}$

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{17} \approx 4.123$:

$v_{02} \approx \frac{25 + 5 \cdot 4.123}{4} = \frac{25 + 20.615}{4} = \frac{45.615}{4} \approx 11.4$ м/с.

Ответ:

Скорость, с которой был брошен второй мяч, составляет $v_{02} = \frac{25 + 5\sqrt{17}}{4}$ м/с, что приблизительно равно $11.4$ м/с.