Номер 90, страница 16, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Свободное падение тел - номер 90, страница 16.

Условие.

90. [82] Тело, брошенное вертикально вверх, на высоте, равной 24,5 м, побывало дважды с интервалом 3 с. Определите начальную скорость тела.

Решение.

Дано:

Высота, на которой тело побывало дважды: $h = 24,5$ м

Интервал времени между этими событиями: $\Delta t = 3$ с

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с² (все данные в СИ)

Найти:

Начальную скорость тела: $v_0$

Решение:

Запишем уравнение зависимости высоты $\text{h}$ от времени $\text{t}$ для тела, брошенного вертикально вверх (ось OY направлена вверх, начало отсчета на земле):

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

По условию, тело находится на высоте $\text{h}$ в два момента времени: $t_1$ (при подъеме) и $t_2$ (при спуске). Интервал времени между этими моментами составляет $\Delta t = t_2 - t_1$.

Движение тела является симметричным относительно точки максимального подъема. Это означает, что время, которое требуется телу для подъема от высоты $\text{h}$ до максимальной высоты, равно времени, которое требуется для падения с максимальной высоты обратно до высоты $\text{h}$. Каждый из этих временных промежутков равен половине общего интервала $\Delta t$:

$t' = \frac{\Delta t}{2}$

На максимальной высоте скорость тела обращается в ноль. Скорость тела на высоте $\text{h}$ во время подъема (обозначим её $v_h$) можно определить, рассмотрев движение от высоты $\text{h}$ до пика траектории. Используя уравнение скорости $v_{конечная} = v_{начальная} + at$, где начальная скорость — $v_h$, конечная — 0, а время — $t'=\frac{\Delta t}{2}$:

$0 = v_h - g \cdot \frac{\Delta t}{2}$

Отсюда находим скорость на высоте $\text{h}$:

$v_h = g \frac{\Delta t}{2}$

Теперь рассмотрим движение тела от поверхности земли (где скорость равна $v_0$) до высоты $\text{h}$ (где скорость равна $v_h$). Воспользуемся формулой, связывающей скорость, перемещение и ускорение, которая не зависит от времени:

$v_h^2 = v_0^2 - 2gh$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = v_h^2 + 2gh$

Подставим ранее найденное выражение для $v_h$:

$v_0^2 = \left(g \frac{\Delta t}{2}\right)^2 + 2gh$

$v_0 = \sqrt{\left(g \frac{\Delta t}{2}\right)^2 + 2gh}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_0 = \sqrt{\left(9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{3 \text{ с}}{2}\right)^2 + 2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 24,5 \text{ м}}$

$v_0 = \sqrt{\left(14,7 \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2 + 480,2 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}$

$v_0 = \sqrt{216,09 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} + 480,2 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \sqrt{696,29 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}$

$v_0 \approx 26,39 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат до десятых:

$v_0 \approx 26,4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: начальная скорость тела приблизительно равна $26,4$ м/с.