Номер 83, страница 15, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков - номер 83, страница 15.

Условие.

83. H Точка движется по траектории, уравнение которой имеет вид $y = 2 + 8x - 2x^2$. Вдоль оси $\text{OX}$ точка движется с постоянной скоростью 1 м/с. Постройте траекторию на плоскости $XOY$. По траектории и аналитически определите максимальное смещение точки по оси $\text{OY}$ во время движения ($y > 0$). Вычислите модуль перемещения в этот момент времени. Постройте графики зависимости $y(t)$ и $x(t)$.

Решение.

Дано:

Уравнение траектории: $y = 2 + 8x - 2x^2$

Скорость вдоль оси ОХ: $v_x = 1 \text{ м/с}$ (постоянная)

Найти:

1. Построить траекторию $y(x)$.

2. Максимальное смещение по оси OY, $y_{max}$.

3. Модуль перемещения $|\Delta \vec{r}|$ в момент достижения $y_{max}$.

4. Построить графики $y(t)$ и $x(t)$.

Решение:

Постройте траекторию на плоскости XOY.

Уравнение траектории $y(x) = -2x^2 + 8x + 2$ является уравнением параболы. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения найдем ключевые точки:

Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2 \text{ м}$

$y_v = y(x_v) = -2(2)^2 + 8(2) + 2 = -8 + 16 + 2 = 10 \text{ м}$

Вершина параболы находится в точке $(2; 10)$.

Точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x=0$):

$y(0) = -2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2 \text{ м}$. Точка пересечения $(0; 2)$.

С осью OX (при $y=0$):

$-2x^2 + 8x + 2 = 0$ или $x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

$x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24 \text{ м}$, $x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24 \text{ м}$.

Движение происходит при $y>0$, то есть на участке параболы между корнями $x_1$ и $x_2$.

Графиком траектории является парабола с вершиной в точке $(2; 10)$, ветвями вниз, пересекающая ось OY в точке $(0; 2)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{5}; 0)$ и $(2 + \sqrt{5}; 0)$.

Ответ: Траектория движения — парабола $y = 2 + 8x - 2x^2$ с вершиной в точке $(2, 10)$ и ветвями, направленными вниз.

По траектории и аналитически определите максимальное смещение точки по оси ОУ во время движения (y > 0).

Графически: Максимальное смещение по оси OY соответствует ординате вершины параболы, так как ее ветви направлены вниз. Из анализа траектории видно, что наивысшая точка — это ее вершина $(2; 10)$. Следовательно, максимальное смещение по оси OY равно $10 \text{ м}$.

Аналитически: Максимальное значение квадратичной функции $y(x) = -2x^2 + 8x + 2$ находится в вершине параболы. Ордината вершины $y_v$ и есть максимальное значение функции.

$y_{max} = y_v = 10 \text{ м}$.

Это значение достигается при $x = x_v = 2 \text{ м}$.

Ответ: Максимальное смещение по оси OY составляет $y_{max} = 10 \text{ м}$.

Вычислите модуль перемещения в этот момент времени.

Сначала найдем закон движения $x(t)$. Движение вдоль оси OX равномерное со скоростью $v_x = 1 \text{ м/с}$. Примем, что в начальный момент времени $t_0 = 0$ точка находилась в положении $x_0 = 0$. Тогда закон движения по оси OX:

$x(t) = x_0 + v_x t = 0 + 1 \cdot t = t$.

Максимальное смещение по оси OY достигается при $x = 2 \text{ м}$. Найдем время $t_{max}$, в которое это произойдет:

$x(t_{max}) = 2 \implies t_{max} = 2 \text{ с}$.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки. Найдем координаты точки в начальный момент времени ($t_0=0$) и в момент достижения максимальной высоты ($t_{max}=2 \text{ с}$).

Начальное положение (при $t_0 = 0$):

$x_0 = x(0) = 0 \text{ м}$

$y_0 = y(x_0) = y(0) = 2 + 8(0) - 2(0)^2 = 2 \text{ м}$.

Начальный радиус-вектор $\vec{r_0} = (0; 2)$.

Конечное положение (при $t_{max} = 2 \text{ с}$):

$x_k = x(2) = 2 \text{ м}$

$y_k = y(x_k) = y(2) = 10 \text{ м}$.

Конечный радиус-вектор $\vec{r_k} = (2; 10)$.

Вектор перемещения $\Delta \vec{r} = \vec{r_k} - \vec{r_0} = (x_k - x_0; y_k - y_0) = (2 - 0; 10 - 2) = (2; 8)$.

Модуль вектора перемещения:

$|\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.25 \text{ м}$.

Ответ: Модуль перемещения равен $|\Delta \vec{r}| = 2\sqrt{17} \text{ м} \approx 8.25 \text{ м}$.

Постройте графики зависимости y(t) и x(t).

График зависимости x(t).

Закон движения по оси OX имеет вид $x(t) = t$. Это линейная зависимость. Графиком является прямая линия, выходящая из начала координат.

График зависимости y(t).

Подставим $x(t) = t$ в уравнение траектории, чтобы получить зависимость $\text{y}$ от времени $\text{t}$:

$y(t) = 2 + 8(t) - 2(t)^2 = -2t^2 + 8t + 2$.

Это квадратичная зависимость, графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Движение рассматривается для $y>0$, что соответствует интервалу времени от $t_0=0$ до $t = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24 \text{ с}$.

Ключевые точки графика $y(t)$: начальная точка (при $t=0$) $y(0) = 2 \text{ м}$; вершина (максимум) при $t_v = 2 \text{ с}$, $y(t_v) = 10 \text{ м}$; конечная точка (при $y=0$) $t = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24 \text{ с}$.

Ответ: График $x(t)$ — прямая линия $x=t$, проходящая через начало координат. График $y(t)$ — парабола $y = -2t^2 + 8t + 2$, с вершиной в точке $(2; 10)$ и ветвями вниз.