Номер 77, страница 15, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков - номер 77, страница 15.

Условие.

77. На рисунке 12 показан график зависимости проекции скорости тела от времени. Постройте графики зависимости проекции ускорения $a_x$ и координаты $\text{x}$ тела от времени $\text{t}$. В начальный момент времени $x_0 = 0$.

64

$v_x, \text{м/с}$

$t, \text{с}$

Рис. 12

Решение.

Дано:

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $\text{t}$.

Начальная координата $x_0 = x(t=0) = 0$ м.

Найти:

Построить графики зависимости проекции ускорения $a_x(t)$ и координаты $x(t)$.

Решение:

Проанализируем предоставленный график $v_x(t)$. Движение тела можно разделить на два этапа равноускоренного движения.

График зависимости проекции ускорения $a_x$ от времени $\text{t}$

Проекция ускорения $a_x$ является тангенсом угла наклона графика $v_x(t)$ к оси времени, то есть находится как отношение изменения проекции скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$.

Этап 1: интервал времени от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 2$ с.

На этом участке скорость изменяется линейно, следовательно, ускорение постоянно. В начальный момент времени $t_0 = 0$ с, скорость $v_{x0} = 0$ м/с. В момент времени $t_1 = 2$ с, скорость $v_{x1} = 40$ м/с.

Найдем ускорение на этом участке:

$a_{x1} = \frac{v_{x1} - v_{x0}}{t_1 - t_0} = \frac{40 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}^2$.

Этап 2: интервал времени от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 5$ с.

На этом участке скорость также изменяется линейно, значит, ускорение постоянно. В начальный момент этого этапа $t_1 = 2$ с, скорость $v_{x1} = 40$ м/с. В конечный момент времени $t_2 = 5$ с, скорость $v_{x2} = -20$ м/с.

Найдем ускорение на этом участке:

$a_{x2} = \frac{v_{x2} - v_{x1}}{t_2 - t_1} = \frac{-20 \text{ м/с} - 40 \text{ м/с}}{5 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{-60 \text{ м/с}}{3 \text{ с}} = -20 \text{ м/с}^2$.

Таким образом, график зависимости $a_x(t)$ будет состоять из двух горизонтальных отрезков.

Ответ: График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую функцию:

1. На интервале времени $t \in [0, 2)$ с проекция ускорения постоянна и равна $a_x = 20 \text{ м/с}^2$. Это отрезок горизонтальной прямой на уровне 20.

2. На интервале времени $t \in (2, 5]$ с проекция ускорения постоянна и равна $a_x = -20 \text{ м/с}^2$. Это отрезок горизонтальной прямой на уровне -20.

График зависимости координаты $\text{x}$ от времени $\text{t}$

Изменение координаты тела (перемещение) равно площади фигуры под графиком зависимости $v_x(t)$. Поскольку движение на каждом этапе равноускоренное, зависимость $x(t)$ будет параболической. Общее уравнение движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Этап 1: интервал времени от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 2$ с.

Начальная координата по условию $x(0) = 0$ м, из графика начальная скорость $v_x(0) = 0$ м/с, ускорение, как мы нашли, $a_{x1} = 20 \text{ м/с}^2$.

Уравнение координаты на этом участке:

$x(t) = x(0) + v_x(0)t + \frac{a_{x1}t^2}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{20t^2}{2} = 10t^2$.

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.

Найдем координату в конце первого этапа, при $t_1 = 2$ с:

$x(2) = 10 \cdot (2)^2 = 40$ м.

Этап 2: интервал времени от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 5$ с.

Для этого участка начальными условиями являются значения в момент $t=2$ с: $x(2) = 40$ м, $v_x(2) = 40$ м/с. Ускорение на этом участке $a_{x2} = -20 \text{ м/с}^2$.

Уравнение координаты на этом участке (время $(t-2)$ отсчитывается от начала второго этапа):

$x(t) = x(2) + v_x(2)(t-2) + \frac{a_{x2}(t-2)^2}{2} = 40 + 40(t-2) - \frac{20(t-2)^2}{2} = 40 + 40(t-2) - 10(t-2)^2$.

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз.

Найдем ключевые точки для этой части графика:

- В момент $t=4$ с скорость тела становится равной нулю ($v_x = 0$), что соответствует вершине параболы. Координата в этот момент будет максимальной:

$x(4) = 40 + 40(4-2) - 10(4-2)^2 = 40 + 40 \cdot 2 - 10 \cdot 4 = 40 + 80 - 40 = 80$ м.

- В конечный момент времени $t_2 = 5$ с координата будет:

$x(5) = 40 + 40(5-2) - 10(5-2)^2 = 40 + 40 \cdot 3 - 10 \cdot 9 = 40 + 120 - 90 = 70$ м.

Ответ: График $x(t)$ состоит из двух сопряженных параболических участков:

1. На интервале времени $t \in [0, 2]$ с график является участком параболы $x(t) = 10t^2$ с ветвями вверх, начинающимся в точке $(0, 0)$ и заканчивающимся в точке $(2, 40)$.

2. На интервале времени $t \in [2, 5]$ с график является участком параболы $x(t) = 40 + 40(t-2) - 10(t-2)^2$ с ветвями вниз, который начинается в точке $(2, 40)$, достигает своего максимума в точке $(4, 80)$ и заканчивается в точке $(5, 70)$.