Номер 75, страница 14, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков - номер 75, страница 14.

Условие.

75. [61] Тело движется вдоль координатной оси $\text{OX}$. В начальный момент времени в точке $x_0 = 4$ м его скорость $v_{0x} = 12$ м/с, а ускорение равно $-4$ м/с².

1) Определите координаты тела в моменты времени 1, 2, 3, 4, 5, 6 с.

2) Постройте график зависимости координаты тела $\text{x}$ от времени $\text{t}$.

3) Определите модуль перемещения и путь, пройденный телом за 6 с движения.

Решение.

Дано:

$x_0 = 4$ м

$v_{0x} = 12$ м/с

$a_x = -4$ м/с²

Найти:

1) $x(t)$ при $t \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ с

2) График $x(t)$

3) $|\Delta r_x|$, $\text{S}$ за $t = 6$ с

Решение:

Движение тела является равноускоренным. Уравнение зависимости координаты от времени в общем виде:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Подставим заданные значения в уравнение, чтобы получить уравнение движения для данной задачи:

$x(t) = 4 + 12t + \frac{(-4) t^2}{2} = 4 + 12t - 2t^2$

1) Определите координаты тела в моменты времени 1, 2, 3, 4, 5, 6 с.

Используем полученное уравнение движения для расчета координат в указанные моменты времени:

При $t = 1$ с: $x(1) = 4 + 12 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 4 + 12 - 2 = 14$ м.

При $t = 2$ с: $x(2) = 4 + 12 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 = 4 + 24 - 8 = 20$ м.

При $t = 3$ с: $x(3) = 4 + 12 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2 = 4 + 36 - 18 = 22$ м.

При $t = 4$ с: $x(4) = 4 + 12 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2 = 4 + 48 - 32 = 20$ м.

При $t = 5$ с: $x(5) = 4 + 12 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 4 + 60 - 50 = 14$ м.

При $t = 6$ с: $x(6) = 4 + 12 \cdot 6 - 2 \cdot 6^2 = 4 + 72 - 72 = 4$ м.

Ответ: Координаты тела в моменты времени 1, 2, 3, 4, 5, 6 с равны соответственно 14 м, 20 м, 22 м, 20 м, 14 м, 4 м.

2) Постройте график зависимости координаты тела x от времени t.

Зависимость $x(t) = 4 + 12t - 2t^2$ является квадратичной функцией, ее график — парабола. Так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-2$), ветви параболы направлены вниз.
Найдем вершину параболы. Координата вершины по оси времени $t_в$ соответствует моменту времени, когда скорость тела становится равной нулю (точка разворота).
Уравнение скорости: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t = 12 - 4t$.
Приравняем скорость к нулю: $12 - 4t = 0 \implies t_в = \frac{12}{4} = 3$ с.
Координата тела в этот момент времени: $x(3) = 22$ м.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 22)$.
Для построения графика можно использовать точки, рассчитанные в пункте 1, а также начальную точку $x(0)=4$ м.

Таблица значений для построения графика:

$\text{t}$, с	0	1	2	3	4	5	6
$\text{x}$, м	4	14	20	22	20	14	4

Ответ: График зависимости координаты от времени — парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке (3 с; 22 м).

3) Определите модуль перемещения и путь, пройденный телом за 6 с движения.

Модуль перемещения — это модуль разности конечной и начальной координат.
Начальная координата (при $t=0$): $x(0) = x_0 = 4$ м.
Конечная координата (при $t=6$ с): $x(6) = 4$ м.
Перемещение: $\Delta r_x = x(6) - x(0) = 4 - 4 = 0$ м.
Модуль перемещения: $|\Delta r_x| = |0| = 0$ м.

Путь — это длина траектории. Так как тело меняло направление движения в момент времени $t = 3$ с (точка разворота, где $v_x = 0$), путь не равен модулю перемещения.
Путь складывается из двух участков:
1. Путь $S_1$ за время от 0 до 3 с: тело движется от $x(0) = 4$ м до $x_{max} = x(3) = 22$ м.
$S_1 = |x(3) - x(0)| = |22 - 4| = 18$ м.
2. Путь $S_2$ за время от 3 до 6 с: тело движется от $x(3) = 22$ м до $x(6) = 4$ м.
$S_2 = |x(6) - x(3)| = |4 - 22| = |-18| = 18$ м.
Общий путь $\text{S}$ за 6 секунд:
$S = S_1 + S_2 = 18 + 18 = 36$ м.

Ответ: Модуль перемещения за 6 с равен 0 м, а пройденный путь — 36 м.