Номер 69, страница 13, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 69, страница 13.

Условие.

69. [74] По наклонной плоскости начали скользить с одинаковыми, направленными вниз ускорениями два тела: одно вверх с начальной скоростью 0,5 м/с, другое вниз из состояния покоя. Через какой промежуток времени тела встретятся? Расстояние между телами в начальный момент времени равно 2,5 м.

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого тела (направлена вверх): $v_{01} = 0,5 \text{ м/с}$
Начальная скорость второго тела: $v_{02} = 0 \text{ м/с}$
Начальное расстояние между телами: $L = 2,5 \text{ м}$
Ускорения тел: $a_1 = a_2 = a$ (направлены вниз по наклонной плоскости)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время встречи тел: $\text{t}$

Решение:

Для решения задачи введем одномерную систему координат $Ox$, ось которой направим вверх по наклонной плоскости. За начало отсчета ($x=0$) примем начальное положение первого тела, которое начинает движение вверх. В этом случае начальная координата второго тела, находящегося на расстоянии $\text{L}$ выше первого, будет равна $x_{02} = L$.

Определим проекции векторов на ось $Ox$:

- Начальная скорость первого тела направлена вверх, сонаправленно с осью $Ox$, поэтому ее проекция положительна: $v_{01x} = v_{01} = 0,5 \text{ м/с}$.
- Второе тело начинает движение из состояния покоя, поэтому $v_{02x} = 0$.
- Ускорение обоих тел направлено вниз, против оси $Ox$, поэтому его проекция отрицательна: $a_x = -a$.

Запишем уравнения движения для каждого тела, используя общую формулу для равноускоренного движения $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Уравнение движения для первого тела:
$x_1(t) = 0 + v_{01}t + \frac{(-a)t^2}{2} = v_{01}t - \frac{at^2}{2}$

Уравнение движения для второго тела:
$x_2(t) = L + 0 \cdot t + \frac{(-a)t^2}{2} = L - \frac{at^2}{2}$

Тела встретятся в момент времени $\text{t}$, когда их координаты станут равными: $x_1(t) = x_2(t)$. Приравняем правые части полученных уравнений:

$v_{01}t - \frac{at^2}{2} = L - \frac{at^2}{2}$

Как видно из уравнения, слагаемые, содержащие ускорение ($\frac{at^2}{2}$), взаимно уничтожаются. Это значит, что время встречи не зависит от величины ускорения, так как оно одинаково для обоих тел.

$v_{01}t = L$

Теперь выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{L}{v_{01}}$

Подставим числовые значения из условия:

$t = \frac{2,5 \text{ м}}{0,5 \text{ м/с}} = 5 \text{ с}$

Ответ: тела встретятся через $5 \text{ с}$.