Номер 67, страница 13, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 67, страница 13.

Условие.

67. [72] Два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями $v_1$ и $v_2 = 1,5v_1$. Водители одновременно начинают тормозить. Определите отношение ускорений автомобилей, если с момента начала торможения до остановки они проехали одинаковые расстояния.

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого автомобиля: $v_1$
Начальная скорость второго автомобиля: $v_2 = 1.5 v_1$
Тормозной путь первого автомобиля: $s_1$
Тормозной путь второго автомобиля: $s_2$
Условие равенства тормозных путей: $s_1 = s_2$
Конечная скорость обоих автомобилей: $v_к = 0$

Найти:

Отношение ускорений автомобилей: $\frac{a_1}{a_2}$

Решение:

Движение автомобилей при торможении является равнозамедленным. Для нахождения тормозного пути при равнозамедленном движении, когда известны начальная и конечная скорости, а также ускорение, можно использовать формулу: $s = \frac{v_к^2 - v_н^2}{2a}$ где $\text{s}$ — пройденный путь, $v_к$ — конечная скорость, $v_н$ — начальная скорость, $\text{a}$ — ускорение.

Поскольку автомобили останавливаются, их конечная скорость $v_к = 0$. Ускорение при торможении направлено против начальной скорости, поэтому его проекция на ось движения будет отрицательной. Если мы рассматриваем модули ускорений $a_1$ и $a_2$, то формула для тормозного пути $\text{s}$ примет вид: $s = \frac{v_н^2}{2a}$

Запишем данное уравнение для каждого из автомобилей.

Для первого автомобиля с начальной скоростью $v_1$ и модулем ускорения $a_1$, тормозной путь $s_1$ равен: $s_1 = \frac{v_1^2}{2a_1}$

Для второго автомобиля с начальной скоростью $v_2$ и модулем ускорения $a_2$, тормозной путь $s_2$ равен: $s_2 = \frac{v_2^2}{2a_2}$

Из условия задачи известно, что $v_2 = 1.5v_1$. Подставим это в выражение для $s_2$: $s_2 = \frac{(1.5v_1)^2}{2a_2} = \frac{2.25v_1^2}{2a_2}$

Также по условию задачи автомобили проехали одинаковые расстояния до остановки, то есть $s_1 = s_2$. Приравняем полученные выражения для $s_1$ и $s_2$: $\frac{v_1^2}{2a_1} = \frac{2.25v_1^2}{2a_2}$

Теперь решим это уравнение относительно искомого отношения $\frac{a_1}{a_2}$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{v_1^2}{2}$ (поскольку $v_1 \ne 0$): $\frac{1}{a_1} = \frac{2.25}{a_2}$

Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим: $1 \cdot a_2 = 2.25 \cdot a_1$ $a_2 = 2.25a_1$

Чтобы найти отношение $\frac{a_1}{a_2}$, разделим обе части последнего равенства на $a_2$ и на $2.25$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2.25}$

Для удобства можно представить десятичную дробь $2.25$ в виде обыкновенной: $2.25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$

Тогда искомое отношение будет равно: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$

Ответ: Отношение ускорений автомобилей $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{9}$.