Номер 70, страница 13, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 70, страница 13.

Условие.

70. [75] Точка движется в плоскости $XOY$ вдоль оси $\text{OX}$ с постоянной скоростью $v_x = 0,5 \text{ м/с}$, при этом уравнение траектории точки имеет вид $y(x) = 4x + 16x^2$. Определите зависимость координаты $\text{y}$ и проекции скорости $v_y$ от времени. Считайте, что при $t = 0$ точка находилась в начале координат.

Решение.

Дано:

$v_x = 0,5$ м/с

$y(x) = 4x + 16x^2$

$x(0) = 0, y(0) = 0$

Найти:

$y(t) - ?$

$v_y(t) - ?$

Решение:

Для нахождения зависимостей от времени сначала определим закон движения точки вдоль оси OX.

Поскольку движение вдоль оси OX происходит с постоянной скоростью $v_x$, оно является равномерным. Уравнение для координаты $\text{x}$ имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_x t$

Из условия, что при $t = 0$ точка находилась в начале координат, следует, что начальная координата $x_0 = 0$. Тогда закон движения по оси OX:

$x(t) = v_x t = 0,5t$

Зависимость координаты y от времени

Чтобы найти зависимость координаты $\text{y}$ от времени $\text{t}$, подставим полученное выражение для $x(t)$ в уравнение траектории $y(x) = 4x + 16x^2$.

$y(t) = 4 \cdot (0,5t) + 16 \cdot (0,5t)^2$

$y(t) = 2t + 16 \cdot (0,25t^2)$

$y(t) = 2t + 4t^2$

Запишем в стандартном виде многочлена:

$y(t) = 4t^2 + 2t$

Ответ: $y(t) = 4t^2 + 2t$ (м).

Зависимость проекции скорости v_y от времени

Проекция скорости $v_y$ на ось OY по определению является первой производной от координаты $\text{y}$ по времени $\text{t}$.

$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = y'(t)$

Возьмем производную от найденной зависимости $y(t) = 4t^2 + 2t$:

$v_y(t) = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t) = 4 \cdot 2t + 2 = 8t + 2$

Ответ: $v_y(t) = 8t + 2$ (м/с).