Номер 63, страница 13, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 63, страница 13.

Условие.

63. [58] Ускорение тела, равное $4 \text{ м/с}^2$, постоянно и направлено под углом $45^\circ$ к оси $\text{OX}$, начальная скорость равна $5 \text{ м/с}$ и направлена под углом $60^\circ$ к оси $\text{OX}$.

1) Запишите уравнения для проекций скорости на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$.

2) Определите скорость тела через $5 \text{ с}$ после начала движения.

Решение.

Дано:

Модуль ускорения $a = 4 \text{ м/с}^2$

Угол направления ускорения к оси OX $\alpha = 45^\circ$

Модуль начальной скорости $v_0 = 5 \text{ м/с}$

Угол направления начальной скорости к оси OX $\beta = 60^\circ$

Время $t = 5 \text{ с}$

Все величины представлены в системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:

1) Уравнения для проекций скорости $v_x(t)$ и $v_y(t)$

2) Скорость тела $\text{v}$ через $t = 5 \text{ с}$

Решение:

Движение тела является равноускоренным. Векторное уравнение скорости для такого движения имеет вид:

$\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a}t$

Для нахождения уравнений проекций скорости спроецируем это векторное уравнение на оси координат OX и OY:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

Сначала найдем проекции начальной скорости $\vec{v_0}$ и ускорения $\vec{a}$ на эти оси.

Проекции начальной скорости:

$v_{0x} = v_0 \cos\beta = 5 \cdot \cos(60^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \text{ м/с}$

$v_{0y} = v_0 \sin\beta = 5 \cdot \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5 \cdot 0.866 = 4.33 \text{ м/с}$

Проекции ускорения:

$a_x = a \cos\alpha = 4 \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \text{ м/с}^2$

$a_y = a \sin\alpha = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \text{ м/с}^2$

1) Запишите уравнения для проекций скорости на оси ОХ и ОУ.

Подставим найденные значения проекций в общие уравнения для скорости:

$v_x(t) = 2.5 + 2\sqrt{2} t$

$v_y(t) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{2} t$

В численном виде (с округлением до сотых):

$v_x(t) \approx 2.5 + 2.83 t$

$v_y(t) \approx 4.33 + 2.83 t$

Ответ: $v_x(t) = 2.5 + 2\sqrt{2} t$; $v_y(t) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{2} t$.

2) Определите скорость тела через 5 с после начала движения.

Для определения скорости тела в момент времени $t = 5 \text{ с}$, найдем проекции скорости на оси в этот момент, подставив $t=5$ в полученные уравнения:

$v_x(5) = 2.5 + 2\sqrt{2} \cdot 5 = 2.5 + 10\sqrt{2} \approx 2.5 + 10 \cdot 1.414 = 2.5 + 14.14 = 16.64 \text{ м/с}$

$v_y(5) = \frac{5\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{2} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2} + 10\sqrt{2} \approx 4.33 + 10 \cdot 1.414 = 4.33 + 14.14 = 18.47 \text{ м/с}$

Модуль скорости (скорость тела) найдем по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции скорости:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v(5) = \sqrt{(16.64)^2 + (18.47)^2} \approx \sqrt{276.89 + 341.14} = \sqrt{618.03} \approx 24.86 \text{ м/с}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: $v(5) \approx 24.9 \text{ м/с}$.