Номер 61, страница 12, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Ускорение. Движение с постоянным ускорением - номер 61, страница 12.

Условие.

61. [56] Проекции ускорения тела на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$ равны соответственно $a_x = 4 \text{ м/с}^2$, $a_y = 3 \text{ м/с}^2$. Определите ускорение тела, а также угол $\alpha$, под которым направлена к оси $\text{OX}$ его скорость, если известно, что начальная скорость тела была равна нулю.

Решение.

Дано:

Проекция ускорения на ось OX: $a_x = 4 \text{ м/с}^2$

Проекция ускорения на ось OY: $a_y = 3 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Модуль ускорения тела: $\text{a}$

Угол скорости к оси OX: $\alpha$

Решение:

1. Определение ускорения тела

Полное ускорение тела $\vec{a}$ является векторной суммой его проекций на оси координат. Модуль вектора ускорения можно найти по теореме Пифагора, рассматривая $a_x$ и $a_y$ как катеты прямоугольного треугольника, где модуль полного ускорения $\text{a}$ является гипотенузой.

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Подставим числовые значения проекций ускорения в формулу:

$a = \sqrt{(4 \text{ м/с}^2)^2 + (3 \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{16 \text{ м}^2/\text{с}^4 + 9 \text{ м}^2/\text{с}^4} = \sqrt{25 \text{ м}^2/\text{с}^4} = 5 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение тела равно $5 \text{ м/с}^2$.

2. Определение угла, под которым направлена скорость

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), вектор его скорости $\vec{v}$ в любой момент времени $t > 0$ будет сонаправлен с вектором ускорения $\vec{a}$. Это следует из формул для проекций скорости при равноускоренном движении:

$v_x = v_{0x} + a_x t = 0 + a_x t = a_x t$

$v_y = v_{0y} + a_y t = 0 + a_y t = a_y t$

Угол $\alpha$, который вектор скорости составляет с осью OX, можно найти через тангенс этого угла, который равен отношению проекции скорости на ось OY к проекции на ось OX.

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{a_y t}{a_x t}$

Время $\text{t}$ сокращается, и мы получаем, что направление скорости не зависит от времени:

$\tan(\alpha) = \frac{a_y}{a_x} = \frac{3 \text{ м/с}^2}{4 \text{ м/с}^2} = 0.75$

Теперь найдем сам угол $\alpha$, взяв арктангенс от полученного значения:

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^{\circ}$

Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 37^{\circ}$.

Ответ: Скорость тела направлена под углом $\alpha \approx 37^{\circ}$ к оси OX.