Номер 55, страница 12, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Кинематика. Кинематика точки. Мгновенная и средняя скорости - номер 55, страница 12.

Условие.

55. Н Пешеход прошёл весь путь со средней скоростью 6 км/ч. При этом последние $\frac{2}{3}$ пути он шёл со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем на первой трети пути. Определите среднюю скорость пешехода на первой трети пути.

Решение.

Дано:

Средняя скорость на всём пути: $v_{ср} = 6$ км/ч

Первый участок пути: $S_1 = \frac{1}{3} S$, где $\text{S}$ - весь путь.

Второй участок пути: $S_2 = \frac{2}{3} S$.

Соотношение скоростей: $v_2 = v_1 - 2$ км/ч, где $v_1$ – скорость на первом участке, а $v_2$ – скорость на втором участке.

Все величины даны во внесистемных, но согласованных единицах (км, ч), поэтому перевод в СИ не является обязательным.

Найти:

Скорость на первой трети пути: $v_1$.

Решение:

Средняя скорость на всем пути определяется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ} = S$ - весь пройденный путь, а $t_{общ}$ - общее время движения.

Общее время движения равно сумме времени, затраченного на каждый участок:

$t_{общ} = t_1 + t_2$

Время прохождения каждого участка пути можно выразить через расстояние и скорость на этом участке:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/3}{v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{2S/3}{v_2}$

Подставим эти выражения в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{3v_1} + \frac{2S}{3v_2}}$

Можно сократить $\text{S}$ в числителе и знаменателе, так как эта величина не равна нулю:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{3v_1} + \frac{2}{3v_2}}$

Подставим известные значения: $v_{ср} = 6$ км/ч и $v_2 = v_1 - 2$ км/ч. Для удобства обозначим искомую скорость $v_1$ как $\text{x}$.

$6 = \frac{1}{\frac{1}{3x} + \frac{2}{3(x - 2)}}$

Чтобы решить это уравнение, сначала "перевернем" обе части:

$\frac{1}{6} = \frac{1}{3x} + \frac{2}{3(x - 2)}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы упростить знаменатели:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x - 2)$:

$\frac{1}{2} = \frac{(x - 2) + 2x}{x(x - 2)}$

$\frac{1}{2} = \frac{3x - 2}{x^2 - 2x}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$1 \cdot (x^2 - 2x) = 2 \cdot (3x - 2)$

$x^2 - 2x = 6x - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

$x = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$

Мы получили два математически верных корня:

$x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$

$x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$

Теперь нужно проверить, какой из корней имеет физический смысл. По условию задачи, скорость пешехода на втором участке $v_2 = v_1 - 2$ должна быть положительной, так как он продолжал движение. Это значит, что $v_1$ должна быть больше 2 км/ч.

Оценим значения корней, зная, что $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 2 \cdot 1.732 = 4 + 3.464 = 7.464$ км/ч. Этот корень больше 2, следовательно, он подходит.

$x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.464 = 0.536$ км/ч. Этот корень меньше 2. Если бы скорость на первом участке была такой, то скорость на втором была бы отрицательной ($v_2 = 0.536 - 2 = -1.464$ км/ч), что физически невозможно. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

Таким образом, единственно верным решением является $v_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ км/ч.

Ответ: средняя скорость пешехода на первой трети пути равна $(4 + 2\sqrt{3})$ км/ч.